دوال دائريّة – الزوايا والقياس الرئيس والملاحظات الخاصة بها

✅ مقدمة الدرس

في هذا الدرس نكمل شرح الفصل الرابع من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، والمتعلق بالدوال الدائرية. سنركز على تبسيط المفاهيم الخاصة بالزوايا، الزوايا الربعية، القياس الرئيس، الزوايا الزوجية والفردية، السالبة، والعلاقة الذهبية، إضافة إلى قانون التان.

✅ تعريف مهم – القياس الرئيس للزاوية:

هو الزاوية المحصورة بين 0 و 2π (أي من 0 إلى 360 درجة)، ويمكن إيجاده من خلال تقليص الزاوية الكبيرة أو معالجة الزاوية السالبة حتى تصبح ضمن هذه الحدود.

🧠 أنواع الزوايا:

1. زوايا شهيرة (ربعية):
   • الزاوية 30 → π/6
   • الزاوية 45 → π/4
   • الزاوية 60 → π/3
   • الزاوية 90 → π/2
2. زوايا كبيرة:
   • يتم تقليصها بقسمة البسط على ضعف المقام، ونأخذ الباقي فقط.
3. زوايا سالبة:
   • نقوم بإضافة ضعف المقام إلى البسط عدة مرات حتى نحصل على زاوية موجبة.
4. زوايا عدد صحيح بدون كسر:
   • إن كانت زوجية → تعاد إلى الزاوية صفر.
   • إن كانت فردية → تعاد إلى الزاوية π.

✏️ أمثلة محلولة:

🔹 المثال الأول:

أوجد: cos(19π/6)

1. الزاوية كبيرة → نقوم بقسمة 19 ÷ 12 (لأن 2×6 = 12).
   • الناتج 1 والباقي 7.
   • إذن: تصبح الزاوية الجديدة هي cos(7π/6).
2. الزاوية 7π/6 تقع في الربع الثالث.
   • الزاوية المرجعية: π/6 (أي 30 درجة).
   • cos في الربع الثالث سالب → الناتج = -√3/2

🔹 المثال الثاني:

ما قيمة cos(4π)؟

• الزاوية 4 عدد زوجي → نعيدها إلى صفر.
• cos(0) = 1
  ✅ الناتج = 1

🔹 المثال الثالث:

ما قيمة cos(21π)؟

• 21 عدد فردي → الزاوية تعاد إلى π.
• cos(π) = -1
  ✅ الناتج = -1

🔹 المثال الرابع – زاوية سالبة:

أوجد القياس الرئيس للزاوية -15π/6

1. نأخذ ضعف المقام = 12
2. نضيف 12 إلى -15:
   • -15 + 12 = -3 → لازالت سالبة
   • -3 + 12 = 9 → موجبة

→ الزاوية أصبحت 9π/6 → اختصارًا = 3π/2
✅ الناتج: القياس الرئيس هو 3π/2

⚠️ ملاحظات مهمة حول الزوايا:

📌 الملاحظة 1:

أي عدد زوجي مضروب بـ π تكون الزاوية صفر.
مثلاً: cos(8π), sin(24π) كلها تعني z = 0

📌 الملاحظة 2:

أي عدد فردي مضروب بـ π تكون الزاوية π.
مثلاً: cos(21π), sin(5π) → نرجعها إلى π

📘 تحويل الزاوية من عدد إلى صيغة π:

💡 الطريقة:

نحوّل الرقم العادي إلى زاوية بصيغة π عبر ضربه بـ (7/22)π لأن π ≈ 22/7.

✏️ مثال:

حوّل 66 إلى زاوية بصيغة π
66 × 7/22 = 21π

✅ العلاقة الذهبية:

العلاقة الذهبية في الدوال الدائرية تنص على:

sin²θ + cos²θ = 1

وهذه العلاقة تنطبق على أي زاوية.

🔁 قوانين مشتقة:

• إذا أردت sin²θ فقط:
  

  sin²θ = 1 – cos²θ

• إذا أردت cos²θ فقط:
  

  cos²θ = 1 – sin²θ

✅ قانون التان (tan):

• التعريف:
  tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

✏️ قيم مشهورة لحفظها:

• tan(30°) = 1/√3
• tan(45°) = 1
• tan(60°) = √3

✅ التعامل مع التان في الزوايا الربعية:

مثال: tan(4π/3)

• الزاوية المرجعية 60 درجة → π/3
• تقع في الربع الثالث
• sin و cos كلاهما سالب → السالبان يُلغيان
  ✅ الناتج = موجب √3

✅ مثال على إثبات علاقة (تحقق):

أثبت: sin(π/6) × cos(π/3) + cos(π/6) × sin(π/3) = sin(π/2)

الحل:

• sin(π/6) = 1/2
• cos(π/3) = 1/2
• cos(π/6) = √3/2
• sin(π/3) = √3/2

→ 1/2 × 1/2 = 1/4
→ √3/2 × √3/2 = 3/4
→ المجموع = 1/4 + 3/4 = 1
✅ الطرف الأيسر = الطرف الأيمن = 1 → متحقق

✅ ملخص النقاط الذهبية:

• الزوايا الزوجية = صفر
• الزوايا الفردية = π
• الزوايا السالبة = أضف ضعف المقام للبسط حتى يصبح موجب
• الزوايا بدون π = اضرب بـ 7/22π
• العلاقة الذهبية: sin² + cos² = 1
• التان: tan = sin / cos
• زاوية 30 → صغير = 1/2
• زاوية 60 → كبير = √3/2

✅ خاتمة:

هذا الدرس يهدف لتبسيط مفهوم الزوايا والدوال المثلثية المرتبطة بها باستخدام طرق سهلة وممتعة (مثل “كبير وصغير”، والعلاقة الذهبية). احرص على حفظ القيم الأساسية للزوايا 30 و45 و60، ومعرفة كيفية التعامل مع الزوايا الكبيرة والسالبة.

📌 تابع معنا الدروس القادمة لمزيد من الأمثلة والتمارين المتقدمة في الفصل الرابع!