الدوال المثلثية (التان، الكوتان، السيك، والكوسييك) للصف الخامس العلمي

في هذا الدرس سنركز على واحدة من أهم المواضيع في الرياضيات، وهي الدوال المثلثية الأساسية، وبالتحديد التان (tan) وما يرتبط به من علاقات مثل الكوتان (cot)، السيك (sec) والكوسييك (csc)، إضافة إلى استخدام العلاقة الذهبية وإثبات المتطابقات المثلثية.

تعريف التان

• تعريف:
  الدالة المثلثية تان الزاوية (tan) هي النسبة بين الساين (sin) والكوساين (cos) لنفس الزاوية:

  $$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

• إذا أعطاك السؤال قيمة للـ ساين وكوساين، كل ما عليك فعله لحساب التان هو قسمة الساين على الكوساين.

النقاط المثلثية

في بعض الأسئلة، تُعطى الزاوية على شكل نقطة مثلثية (x, y). عندها:

• الرقم الأول x يمثل cos الزاوية.
• الرقم الثاني y يمثل sin الزاوية.
• ومن خلالهما يمكنك حساب tan الزاوية بقسمة y على x.

مثال 1:
إذا كانت النقطة المثلثية للزاوية (1/√5, -1/√5)
نستنتج:

• cos = 1/√5
• sin = -1/√5
  إذًا:

$$\tan(x) = \frac{-1/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}} = -1$$

إشارات الزوايا حسب الربع

في نظام الزوايا الربعية:

• الربع الأول: sin موجب، cos موجب
• الربع الثاني: sin موجب، cos سالب
• الربع الثالث: sin سالب، cos سالب
• الربع الرابع: sin سالب، cos موجب

مهم جدًا أن تحدد ربع الزاوية لأن الإشارة تؤثر على الناتج النهائي للدوال.

العلاقة الذهبية

العلاقة الأساسية بين الدوال المثلثية:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

يمكن اشتقاق عدة علاقات منها:

• لإيجاد cos:

  $$\cos^2(x) = 1 – \sin^2(x)$$

• لإيجاد sin:

  $$\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)$$

أمثلة على استخراج الدوال

مثال 2:
إذا أعطاك sin(x) = 3/5 وذكر أن الزاوية في الربع الثاني، أوجد:

1. cos(x)
2. tan(x)

الحل:

1. من العلاقة الذهبية:

   $$\cos^2(x) = 1 – \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\cos(x) = -\frac{4}{5} \quad \text{(لأن الزاوية في الربع الثاني)}$$

2. نحسب التان:

   $$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$$

تعريف الكوتان

• الكوتان cot هو مقلوب التان:

  $$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$$

مثال:
إذا كان tan(x) = 3/4
فإن:

$$\cot(x) = \frac{4}{3}$$

تعريف السيك والكوسييك

• السيك sec(x) هو مقلوب الكوساين:

  $$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$$

• الكوسييك csc(x) هو مقلوب الساين:

  $$\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$$

طريقة الحفظ الذكية:

• Sec ↔ Cos (الحروف بالعكس: S ↔ C)
• Cosec ↔ Sin (الحروف بالعكس: C ↔ S)

مثال شامل على جميع الدوال

المعطى:
زاوية تقع في الربع الثاني وsin(x) = 5/13
أوجد:

• cos(x), tan(x), cot(x), sec(x), csc(x)

الحل:

• باستخدام العلاقة الذهبية:

  $$\cos^2(x) = 1 – \left(\frac{5}{13}\right)^2 = \frac{144}{169} \Rightarrow \cos(x) = -\frac{12}{13}$$(سالب لأن الزاوية في الربع الثاني)

• نحسب الدوال:

  $$\tan(x) = \frac{5}{-12} = -\frac{5}{12} \quad \cot(x) = -\frac{12}{5}$$ $$\sec(x) = -\frac{13}{12} \quad \csc(x) = \frac{13}{5}$$

إثبات صحة المتطابقات

أمثلة على “اثبت أن”

مثال 1:
أثبت أن:

$$3\cos^2(x) – \sin^2(x) + 1 = 4\cot^2(x)$$

الحل:

• استخدم العلاقة الذهبية:

  $$1 – \sin^2(x) = \cos^2(x) \Rightarrow -\sin^2(x) + 1 = \cos^2(x)$$

• نعوض:

  $$3\cos^2(x) + \cos^2(x) = 4\cos^2(x)$$

• لدينا:

  $$\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} = \cot^2(x) \Rightarrow 4\cot^2(x)$$

الطرف الأيسر = الطرف الأيمن، إذًا المتطابقة صحيحة.

نصائح لحل أسئلة المتطابقات

1. ابدأ بالطرف المعقد (الهوسة).
2. استبدل العلاقات حسب العلاقة الذهبية.
3. استخدم قوانين المقلوب عند الحاجة.
4. تأكد أن الناتج النهائي يساوي الطرف الآخر.

خاتمة

هذا الدرس يشكل الأساس لفهم الدوال المثلثية في الصف السادس لاحقًا. من المهم أن تحفظ:

• قانون التان والكوتان.
• العلاقة الذهبية.
• المقلوبات (سيك وكوسييك).
• إشارات الزوايا حسب الربع.

لا تنسَ:

• كل مسألة تعتمد على التركيز على المعطيات واختيار القوانين المناسبة.
• إثبات المتطابقات يتطلب فهم لا حفظ فقط.