إثبات صحة المتطابقات – الصف الخامس العلمي

مقدمة

يُعد موضوع “إثبات صحة المتطابقات المثلثية” من المواضيع المهمة والأساسية في الفصل الرابع لمادة الرياضيات للصف الخامس العلمي. تعتمد حلوله على استخدام العلاقات الأساسية المعروفة بين الدوال المثلثية مثل: الساين، الكوساين، التان، السيك، الكوسيكن، وغيرها، إلى جانب تطبيق الخواص الجبرية وتبسيط التعابير للوصول إلى الجواب الصحيح.

في هذا الدرس، سنشرح بالتفصيل كيفية إثبات صحة المتطابقات باستخدام العلاقات المعروفة، وسنأخذ أمثلة مباشرة من تمارين الكتاب مع شرح خطوة بخطوة للوصول إلى النتيجة النهائية، بالإضافة إلى استذكار التعاريف المهمة و”العلاقات الذهبية”.

أولًا: التعاريف والعلاقات الأساسية

في إثبات المتطابقات، هناك علاقات أساسية لا غنى عنها:

1. العلاقة الذهبية الأساسية:

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$

منها نستنتج:

• $\cos^2(x) = 1 – \sin^2(x)$
• $\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)$

2. العلاقة بين السيك والتان:

$$\sec^2(x) – \tan^2(x) = 1$$

أيضًا:

• $\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)$

3. العلاقة بين الكوسيكن والكتان:

$$\csc^2(x) – \cot^2(x) = 1$$

خطوات إثبات المتطابقات

✳️ القاعدة الذهبية:

دائمًا نبدأ بـ الطرف المعقد (الأكثر تعقيدًا)، ونحاول تبسيطه إلى أن يصبح مساويًا للطرف الآخر.

✅ ملاحظات مهمة:

• لا يمكن اختصار البسط والمقام إذا كان بينهما عملية جمع أو طرح.
• يمكن توزيع المقام على كل حد في البسط إذا وُجد جمع أو طرح.
• السيك تربيع $\sec^2(x)$ يمكن كتابتها على صورة:

  $$\frac{1}{\cos^2(x)}$$

• والكوسيكن تربيع $\csc^2(x)$ هي:

  $$\frac{1}{\sin^2(x)}$$

المثال الأول: إثبات متطابقة

السؤال: أثبت أن:

$$\frac{1 – \sin^2(x)}{1 + \tan^2(x)} \cdot \sec^2(x) = 1$$

الحل:

نبدأ من الطرف الأيسر:

$$\frac{1 – \sin^2(x)}{1 + \tan^2(x)} \cdot \sec^2(x)$$

نلاحظ الآتي:

• $1 – \sin^2(x) = \cos^2(x)$ (من العلاقة الذهبية)
• $1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$

إذًا التعويض يكون:

$$\frac{\cos^2(x)}{\sec^2(x)} \cdot \sec^2(x)$$

نختصر:

$$\frac{\cos^2(x)}{\sec^2(x)} \cdot \sec^2(x) = \cos^2(x)$$

ثم:

$$\cos^2(x) \cdot \frac{1}{\cos^2(x)} = 1$$

إذن الطرف الأيسر = الطرف الأيمن، وهو المطلوب.

المثال الثاني: إثبات آخر من الكتاب

السؤال: أثبت أن:

$$\frac{1 – \sin^2(x) + \sin(x)}{\cos(x)} = \cos(x) + \tan(x)$$

الحل:

نأخذ الطرف الأيسر، ونبدأ بتبسيطه:

• نستخدم العلاقة $1 – \sin^2(x) = \cos^2(x)$

فيصبح لدينا:

$$\frac{\cos^2(x) + \sin(x)}{\cos(x)}$$

نستخدم خاصية توزيع المقام:

$$\frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} + \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \cos(x) + \tan(x)$$

وبالتالي أثبتنا صحة المتطابقة.

مثال يحتوي على كوسيكن وسيك:

السؤال: أثبت أن:

$$\sec^2(x) + \csc^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} + \frac{1}{\sin^2(x)} = \text{مجموع كسور}$$

نقوم بتوحيد المقامات:

• المقام المشترك هو: $\cos^2(x) \cdot \sin^2(x)$

ونستعمل المقص:

$$\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\cos^2(x)\sin^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)\sin^2(x)}$$

ثم نجزئ الكسر:

$$= \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\sin^2(x)} = \sec^2(x) \cdot \csc^2(x)$$

ملاحظات مهمة عن الزوايا الربعية

الزوايا تنقسم إلى أربع أرباع:

الزوايا الشهيرة:

• $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$
• $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
• $\tan(45^\circ) = 1$
• $\cos(0^\circ) = 1$, $\sin(0^\circ) = 0$

أمثلة على الزوايا الكبيرة وطريقة التخفيف

مثال:

جد:

$$\sin\left(\frac{19\pi}{2}\right)$$

نقسم 19 ÷ 4 = 4 والباقي 3

إذًا:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1$$

(حسب تموضع الزاوية في الصليب)

أمثلة على الإشارات والدوال الزوجية

• $\sin(-x) = -\sin(x)$ → الساين لا يأكل السالب
• $\cos(-x) = \cos(x)$ → الكوساين دالة زوجية

ملخص الدرس:

1. ابدأ من الطرف المعقد دائمًا.
2. اعرف العلاقات الأساسية واحفظها جيدًا.
3. تعامل مع الزوايا الكبيرة باستخدام القسمة الطويلة أو الصليب.
4. تعرف على الإشارات حسب الربع.
5. لا تختصر الكسر إلا إذا تحقق شرط التوزيع.

خلاصة:

إثبات صحة المتطابقات هو من المواضيع التي تجمع بين الفهم والحفظ. فهم العلاقات الأساسية يساعدك على حل التمارين بثقة، بينما حفظ القواعد والخواص يوفر الوقت والجهد. هذا الموضوع هو مفتاح أساسي لفهم الفصول القادمة في السادس العلمي، فلا تهمله.

إذا أردت التمرن أكثر، خذ أمثلة من تمارين الكتاب وابدأ بإثبات الطرف المعقد حتى تصل للطرف البسيط.