الزوايا المنتسبة والزوايا في الأرباع – الصف الخامس العلمي

مقدمة:

مرحبًا بكم طلاب الصف الخامس العلمي الأعزاء، في درس جديد من الفصل الرابع، الذي سنستكمل فيه موضوع الزوايا المنتسبة والتعامل مع الزوايا ضمن الأرباع، وكيفية تحديد إشارة الدوال المثلثية لكل ربع، بالإضافة إلى تطبيق هذه المفاهيم في حل أسئلة التمارين، وتوضيح قوانين جمع وطرح الزوايا للدوال الدائرية مثل الجيب (sin)، الجيب التمام (cos)، والظل (tan).

أولاً: الزوايا المنتسبة والأرباع

تعريف الزوايا المنتسبة:

الزوايا المنتسبة هي الزوايا التي تختلف عن الزوايا الأساسية (0°، 90°، 180°، 270°) ولكن تشترك معها في نفس القيمة للدالة المثلثية (مع تغيير الإشارة أحيانًا). وهي تُكتب غالبًا بأحد التعبيرين:

• 90° ± θ
• 180° ± θ
• 270° ± θ
• 360° ± θ

الأرباع والإشارات:

ملاحظة: عند قراءة الإشارات، نبدأ بالكوساين (لأنه يمثل محور x)، ثم الساين (يمثل محور y).

ثانياً: الزوايا التي “تُغيّر” الدالة

عند التعامل مع تعبيرات الزوايا المنتسبة، هناك حالتان خاصتان فقط تؤديان إلى تغيير نوع الدالة:

• إذا كانت الزاوية على شكل: 90° ± θ أو 270° ± θ
  • في هذه الحالة تتحول الدالة:
    • sin ↔ cos
    • tan ↔ cot
    • sec ↔ csc

أما في التعبيرين 180° ± θ و 360° ± θ، فلا يتم تغيير الدالة، فقط تُؤخذ الإشارة حسب الربع.

ثالثاً: كيفية تحديد موقع الزاوية في أحد الأرباع

جدول تحديد الأرباع:

رابعاً: خطوات إثبات صحة المتطابقة

مثال من التمارين:

أثبت أن:

cos(90° - θ) × cos(0° + θ) - sin(180° + θ) × sin(180° - θ) = 0

الحل:

1. نحدد الربع لكل زاوية:
   • cos(90° – θ): زاوية في الربع الأول → لا تغيّر الدالة، وتكون موجبة.
   • cos(θ): زاوية في الربع الأول → موجبة.
   • sin(180° + θ): زاوية في الربع الثالث → لا تغيّر الدالة، سالبة.
   • sin(180° – θ): زاوية في الربع الثاني → لا تغيّر الدالة، موجبة.
2. نحسب الإشارات وتحديد من يغير:
   • 90° – θ → يُغيّر الدالة: cos تتحول إلى sin.
   • تصبح:

     cos(90° - θ) = sin(θ)
     

3. نحسب الناتج:

   sin(θ) × cos(θ) - (-sin(θ)) × sin(θ)
   = sin(θ)cos(θ) + sin²(θ)
   

4. الطرف الثاني المفروض أن يكون:

   sin(θ)cos(θ) + sin²(θ)
   

   نلاحظ أن الطرفين متساويين، وبالتالي المتطابقة صحيحة.

خامساً: تحديد الربع من خلال إشارة sin وcos

مثال:

إذا علمت أن:

• sin(θ) > 0
• cos(θ) < 0

ماذا تستنتج؟

الجواب:

• sin موجب → θ تقع في الربع الأول أو الثاني.
• cos سالب → θ تقع في الربع الثاني أو الثالث.
• المشترك هو: الربع الثاني.

ملاحظة: إذا تم تبديل ترتيب sin وcos، فاحرص على إرجاعها بالترتيب الصحيح لأن ترتيب القيم مهم في تحديد الربع.

سادساً: القوانين الخاصة بجمع وطرح الزوايا

1. قانون cos(α ± β):

cos(α ± β) = cos(α)cos(β) ∓ sin(α)sin(β)

الإشارة تتغير (عكس الإشارة الأصلية)

2. قانون sin(α ± β):

sin(α ± β) = sin(α)cos(β) ± cos(α)sin(β)

الإشارة تبقى كما هي

3. قانون tan(α ± β):

tan(α ± β) = (tan(α) ± tan(β)) / (1 ∓ tan(α)tan(β))

الإشارة في البسط مثل الإشارة الأصلية
الإشارة في المقام عكسها

سابعاً: تطبيق عملي على قوانين الجمع والطرح

مثال:

احسب:

cos(75°)

الحل:

1. نفكك الزاوية:

   75° = 45° + 30°
   

2. نطبق قانون جمع الزوايا للكوساين:

   cos(75°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°)
   

3. نعوض بالقيم المحفوظة:
   • cos(45°) = √2/2
   • cos(30°) = √3/2
   • sin(45°) = √2/2
   • sin(30°) = 1/2
4. بالتعويض:

   cos(75°) = (√2/2 × √3/2) - (√2/2 × 1/2)
            = (√6/4) - (√2/4)
            = (√6 - √2) / 4
   

ثامناً: ملخص النقاط المهمة

• الزوايا المنتسبة تعتمد على موقع الزاوية في الربع.
• 90° و270° تؤدي إلى تغيير نوع الدالة.
• يجب حفظ إشارات الدوال في كل ربع.
• التعابير: 90 ±، 180 ±، 270 ±، 360 ± كل منها يحدد موقع الزاوية.
• قوانين جمع وطرح الزوايا أساسية في حل الأسئلة.
• طريقة “الصليب” مفيدة لحفظ قيم الزوايا الأساسية (0، 90، 180، 270).

خاتمة:

بهذا نكون قد أنهينا درس الزوايا المنتسبة والزوايا في الأرباع، إضافة إلى شرح مفصل لقوانين الجمع والطرح للدوال المثلثية، مع تطبيقات مباشرة من أسئلة الكتاب والتمارين. يُنصح بمراجعة هذه القوانين باستمرار، وحل الأمثلة المختلفة لترسيخ الفهم.

كان معكم الأستاذ مؤمل مهدي، ولا تنسونا من دعائكم ودعمكم.