علاقات ضعف الزاوية | الصف الخامس العلمي

 

يُعد موضوع علاقات ضعف الزاوية من المواضيع المهمة في الفصل الرابع من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي. يُصنّف هذا الموضوع ضمن المواضيع التي تحتاج إلى حفظ دقيق لبعض العلاقات الأساسية، كما يتطلب فهمًا للزوايا المثلثية والربع الذي تقع فيه الزاوية.

في هذه المحاضرة نشرح علاقات ضعف الزاوية للـ ساين (Sine)، كوساين (Cosine)، وتان (Tangent)، مع أمثلة تفصيلية لحل الأسئلة اعتمادًا على هذه القوانين.


أولًا: مراجعة سريعة لبعض العلاقات المهمة

العلاقة الذهبية

sin2(x)+cos2(x)=1\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1

نستخرج منها:

  • cos2(x)=1sin2(x)\cos^2(x) = 1 – \sin^2(x)
  • sin2(x)=1cos2(x)\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)

العلاقة الفضية

sec2(x)tan2(x)=1\sec^2(x) – \tan^2(x) = 1

ومنها:

  • sec2(x)=1+tan2(x)\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x)

العلاقة البرونزية

csc2(x)cot2(x)=1\csc^2(x) – \cot^2(x) = 1

ومنها:

  • csc2(x)=1+cot2(x)\csc^2(x) = 1 + \cot^2(x)

المقلوبات:

  • tan(x)=sin(x)cos(x)\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}
  • sec(x)=1cos(x)\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}
  • csc(x)=1sin(x)\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}
  • cot(x)=1tan(x)\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}

ثانيًا: علاقات ضعف الزاوية

1. قانون ضعف الزاوية للساين:

sin(2x)=2sin(x)cos(x)\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)

2. قوانين ضعف الزاوية للكوساين:

القانون الأساسي:

cos(2x)=cos2(x)sin2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)

اشتقاقان إضافيان:

  • cos(2x)=2cos2(x)1\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1
  • cos(2x)=12sin2(x)\cos(2x) = 1 – 2\sin^2(x)

3. قانون ضعف الزاوية للتان:

tan(2x)=2tan(x)1tan2(x)\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 – \tan^2(x)}


ثالثًا: مثال محلول من الكتاب

السؤال: إذا كانت:

sin(α)=45والزاوية α في الربع الأول\sin(\alpha) = \frac{4}{5} \quad \text{والزاوية } \alpha \text{ في الربع الأول}

أوجد:

  1. sin(2α)\sin(2\alpha)
  2. cos(2α)\cos(2\alpha)
  3. tan(2α)\tan(2\alpha)

الحل:

الخطوة الأولى: إيجاد cos(α)\cos(\alpha) باستخدام العلاقة الذهبية:

cos2(α)=1sin2(α)=1(45)2=11625=925cos(α)=35(لأن الزاوية في الربع الأول، فالإشارة موجبة)\cos^2(\alpha) = 1 – \sin^2(\alpha) = 1 – \left(\frac{4}{5}\right)^2 = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{3}{5} \quad \text{(لأن الزاوية في الربع الأول، فالإشارة موجبة)}


1. حساب sin(2α)\sin(2\alpha):

sin(2α)=2sin(α)cos(α)=24535=2425\sin(2\alpha) = 2 \cdot \sin(\alpha) \cdot \cos(\alpha) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}


2. حساب cos(2α)\cos(2\alpha) باستخدام:

cos(2α)=cos2(α)sin2(α)=9251625=725\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) – \sin^2(\alpha) = \frac{9}{25} – \frac{16}{25} = \frac{-7}{25}


3. حساب tan(2α)\tan(2\alpha) باستخدام:

tan(2α)=2tan(α)1tan2(α)\tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot \tan(\alpha)}{1 – \tan^2(\alpha)}

نحسب أولًا tan(α)=sin(α)cos(α)=43\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{4}{3}

tan(2α)=2431(43)2=831169=8379=83(97)=7221=247\tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot \frac{4}{3}}{1 – \left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 – \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{72}{21} = -\frac{24}{7}


رابعًا: أمثلة إضافية وتطبيقات

مثال:

إذا كانت tan(x)=34\tan(x) = \frac{3}{4} والزاوية xx في الربع الأول، أوجد sec(x)\sec(x)، ثم احسب cos(2x)\cos(2x).

الحل: من العلاقة الفضية:

sec2(x)=1+tan2(x)=1+(34)2=1+916=2516sec(x)=54cos(x)=1sec(x)=45\sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) = 1 + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16} \Rightarrow \sec(x) = \frac{5}{4} \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{\sec(x)} = \frac{4}{5}

استخدمنا:

cos(2x)=2cos2(x)1=2(45)21=216251=32251=725\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1 = 2 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2 – 1 = 2 \cdot \frac{16}{25} – 1 = \frac{32}{25} – 1 = \frac{7}{25}


خامسًا: ملاحظات مهمة

  • تأكد دائمًا من تحديد الربع الذي تقع فيه الزاوية لتحديد الإشارات بشكل صحيح.
  • عند استخدام علاقات الضعف، يجب أن تكون الزاوية المفروضة على شكل 2x2x أو 2θ2\theta، وتُقسم داخل القوانين إلى xx أو θ\theta.
  • يمكن استخراج العلاقات الإضافية من العلاقة الذهبية أو الفضية أو البرونزية.
  • احرص على التدرب باستخدام أمثلة من الكتاب وخاصة تلك التي تطلب “برهن” أو “بين”، لأنها تعتمد على إثبات الطرف الآخر.

خلاصة

موضوع علاقات ضعف الزاوية يعد مفتاحًا مهمًا في فهم الزوايا المثلثية وتطبيقاتها المختلفة. حفظ العلاقات الثلاثة للساين، الكوساين، والتان مع قدرتك على اشتقاق العلاقات الإضافية واستخدام المقلوبات يمنحك ثقة لحل جميع تمارين هذا الفصل.

المحاضرة القادمة سنكمل حل تمارين إضافية مركزة من الكتاب لتثبيت الفهم.