علاقات نصف الزاوية – رياضيات الخامس العلمي

علاقات نصف الزاوية من المواضيع المهمة التي يحتاج الطالب إلى حفظها جيدًا، لأنها تُستخدم لحساب قيم الزوايا التي لا يمكن التعامل معها مباشرة باستخدام القوانين الأساسية للدوال المثلثية. في هذا الدرس سنشرح هذه العلاقات، ونوضح كيفية استخدامها من خلال الأمثلة التوضيحية، ونحل بعض التمارين المهمة الواردة في الكتاب.

أولًا: تعريف علاقات نصف الزاوية

علاقات نصف الزاوية هي علاقات تربط بين الدوال المثلثية لزاوية معينة والدوال المثلثية لنصف هذه الزاوية. تُستخدم هذه العلاقات عندما تكون الزاوية في المسألة غير مألوفة أو لا يمكن إيجاد قيمها من الجدول مباشرة، مثل الزاوية $\frac{\pi}{8}$ أو 105 درجة.

ثانيًا: القوانين الأساسية لعلاقات نصف الزاوية

ملاحظة: عند تطبيق العلاقات، إذا كانت الزاوية مجهولة ولا يمكن التعامل معها مباشرة، نضربها في 2 قبل التعويض في القانون.

ثالثًا: أمثلة توضيحية

مثال 1: حساب $\sin \frac{\pi}{8}$

نستخدم العلاقة:

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 – \cos(\frac{\pi}{4})}{2}$$

لأن:

$$2 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4} \quad \text{و} \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

نعوض:

$$\sin^2 \frac{\pi}{8} = \frac{1 – \frac{1}{\sqrt{2}}}{2} = \frac{\sqrt{2} – 1}{2\sqrt{2}}$$

لإيجاد $\sin \frac{\pi}{8}$، نأخذ الجذر:

$$\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{\sqrt{2} – 1}{2\sqrt{2}}}$$

نبسط أكثر باستخدام العامل المنسب:

$$\frac{\sqrt{2} – 1}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2 – \sqrt{2}}{4} \Rightarrow \sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 – \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2}$$

مثال 2: حساب $\sin 105^\circ$

نستخدم علاقة نصف الزاوية:

$$\sin^2 \frac{105^\circ}{2} = \frac{1 – \cos(105^\circ)}{2}$$

ولكن 105 درجة لا نعرف كوساينها، فنستخدم العلاقة بالعكس:

$$\sin 105^\circ = \sqrt{\frac{1 – \cos 210^\circ}{2}}$$

ونعلم أن:

$$\cos 210^\circ = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$

فيصبح:

$$\sin 105^\circ = \sqrt{\frac{1 – (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$$

رابعًا: استخدام العلاقات في حل التمارين

تمرين: إذا كان $\tan \alpha / \tan \beta = 2/3$ و $\alpha + \beta = 45^\circ$، احسب $\tan 2\alpha$ و $\tan 2\beta$

نبدأ بتعويض $\beta = 45^\circ – \alpha$:

$$\frac{\tan \alpha}{\tan(45^\circ – \alpha)} = \frac{2}{3}$$

نستخدم قانون فرق الزاويتين:

$$\tan(45 – \alpha) = \frac{1 – \tan \alpha}{1 + \tan \alpha}$$

نحل المعادلة ونستخرج $\tan \alpha = \frac{1}{3}$، ثم نحصل على $\tan \beta = \frac{1}{2}$

نستخدم علاقة ضعف الزاوية:

$$\tan(2\alpha) = \frac{2 \cdot \tan \alpha}{1 – \tan^2 \alpha} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 – \frac{1}{9}} = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4}$$

وبنفس الطريقة:

$$\tan(2\beta) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 – (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

خامسًا: إثباتات باستخدام علاقات نصف الزاوية

تمرين: إثبات أن

$$\cot \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 – \cos \alpha}}$$

نبدأ من الطرف الأيسر باستخدام تعريف الكوتان:

$$\cot \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}}{\sqrt{\frac{1 – \cos \alpha}{2}}} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 – \cos \alpha}}$$

وهذا ما طُلب إثباته.

سادسًا: سؤال تطبيقي

احسب $\cot 15^\circ$ باستخدام علاقات نصف الزاوية

نستخدم العلاقة:

$$\cot \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 – \cos \alpha}}, \quad \alpha = 30^\circ \Rightarrow \cot 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 30^\circ}{1 – \cos 30^\circ}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{1 – \frac{\sqrt{3}}{2}}}$$

نقوم بتوحيد المقامات والتبسيط، ثم نأخذ الجذر لإيجاد الناتج النهائي.

سابعًا: ملخص أهم النقاط

• علاقات نصف الزاوية تستخدم عند وجود زوايا يصعب التعامل معها مباشرة.
• يجب حفظ العلاقات الأساسية:
  • $\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{1 – \cos x}{2}$
  • $\cos^2 \frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$
• إذا كان المطلوب بدون تربيع، نأخذ الجذر.
• احرص على ضرب الزاوية في 2 داخل القانون.
• يُفضل تبسيط الجذور باستخدام “العامل المنسب” لتجنب وجود الجذور في المقام.