حل المعادلات المثلثية باستخدام علاقات ضعف الزاوية – للصف الخامس العلمي

في هذه المحاضرة نتابع موضوع المعادلات المثلثية، ونركز على استخدام علاقات ضعف الزاوية في إثبات المتطابقات وحل المعادلات. نبدأ بمراجعة القوانين المهمة لعلاقات ضعف الزاوية، ثم ننتقل إلى تطبيقات عملية في تمارين الكتاب.

أولًا: قوانين علاقات ضعف الزاوية

تُستخدم علاقات ضعف الزاوية للتحويل بين المعادلات التربيعية والدوال الزاويّة المثلثية، وتأتي على النحو التالي:

علاقات الساين تربيع:

$$\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$$

علاقات الكوساين تربيع:

$$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

علاقة ضعف الزاوية للـ sin:

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$

علاقة ضعف الزاوية للـ cos:

$$\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x) = 2\cos^2(x) – 1 = 1 – 2\sin^2(x)$$

ثانيًا: إثبات متطابقة مثلثية (مثال من التمارين)

المطلوب: إثبات صحة المتطابقة:

$$\sin^2(x)\cos^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

الحل:

نبدأ بأخذ الطرف الأيسر (LHS):

$$\sin^2(x)\cos^2(x)$$

نحوّل كل من $\sin^2(x)$ و $\cos^2(x)$ باستخدام علاقات الضعف:

$$\left( \frac{1 – \cos(2x)}{2} \right) \cdot \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)$$

نطبّق الفرق بين مربعين:

$$\frac{1 – \cos^2(2x)}{4}$$

وهذا يساوي الطرف الأيمن (RHS)، وبالتالي:

$$\boxed{LHS = RHS \quad \text{وهو المطلوب إثباته}}$$

ثالثًا: استخدام علاقات الضعف في تحويل التعبيرات (سؤال فرع H)

المعطى:

$$8\cos^2(x)\sin(x) – 4\sin(x)$$

الحل:

نسحب عامل مشترك:

$$4\sin(x) \left(2\cos^2(x) – 1\right)$$

نعوّض باستخدام علاقة ضعف الزاوية:

$$\cos(2x) = 2\cos^2(x) – 1$$

فيصبح:

$$4\sin(x)\cos(2x)$$

ثم نعيد ترتيب الناتج باستخدام علاقة الضعف العكسية:

$$2\sin(2x)\cos(x)$$

رابعًا: مثال لحساب ساين وكوساين مضاعفة زاوية

السؤال:

احسب:

$$\sin(3x) \quad \text{و} \quad \cos(3x)$$

الخطوة الأولى: التحليل باستخدام جمع الزوايا

$$\sin(3x) = \sin(2x + x)$$

نستخدم قانون جمع الزوايا للساين:

$$\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$

نحوّل:

$$= \sin(2x)\cos(x) + \cos(2x)\sin(x)$$

نعوّض علاقات الضعف:

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \quad , \quad \cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)$$

فيصبح الناتج:

$$2\sin(x)\cos^2(x) + (\cos^2(x) – \sin^2(x))\sin(x)$$

نوزع الضرب:

$$2\sin(x)\cos^2(x) + \sin(x)\cos^2(x) – \sin^3(x)$$

نجمع الحدود:

$$3\sin(x)\cos^2(x) – \sin^3(x)$$

خامسًا: حل المعادلات المثلثية – القواعد العامة

الحالة 1: $\sin(x) = \sin(\theta)$

يكون الحل كالتالي:

$$x = \theta \quad \text{أو} \quad x = 180^\circ – \theta$$

الحالة 2: $\cos(x) = \cos(\theta)$

الحل:

$$x = \theta \quad \text{أو} \quad x = 360^\circ – \theta$$

الحالة 3: $\tan(x) = \tan(\theta)$

الحل:

$$x = \theta \quad \text{أو} \quad x = \theta + 180^\circ$$

سادسًا: أمثلة محلولة

مثال 1:

$$\sin(x) = \frac{1}{2}$$

نحوّل القيمة إلى زاوية معروفة:

$$\sin(x) = \sin(30^\circ)$$

إذن:

$$x = 30^\circ \quad \text{أو} \quad x = 150^\circ$$

مثال 2:

$$\cos(x) = -\frac{1}{2}$$ $$\cos(x) = \cos(60^\circ) \Rightarrow x = 180^\circ – 60^\circ = 120^\circ \quad \text{أو} \quad x = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$$

مثال 3:

$$\tan(x) = \sqrt{3} \Rightarrow x = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ \Rightarrow x = 60^\circ \quad \text{أو} \quad x = 240^\circ$$

سابعًا: ملاحظات مهمة

• لا يمكن حل المعادلة إذا لم يكن الشكل موحدًا (ساين مع رقم فقط)، لذا يجب تحويل الرقم إلى دالة مثلثية معروفة.
• القيم المشهورة يجب حفظها:

ثامنًا: مراجعة الإشارات في الأرباع

تاسعًا: سؤال واجب

حل المعادلة:

$$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

✍️ الحل المقترح:

$$\cos(x) = \cos(45^\circ) \Rightarrow x = 45^\circ \text{ أو } x = 360^\circ – 45^\circ = 315^\circ$$

خلاصة:

في هذه المحاضرة تعلّمنا كيف نستخدم علاقات ضعف الزاوية لإثبات المتطابقات وتحليل المعادلات المثلثية. هذه القوانين مهمة جدًا في الفصل الرابع، ويجب حفظها وتطبيقها بدقة. المحاضرة القادمة سنكمل باقي أفكار المعادلات المثلثية وننتقل لاحقًا إلى رسم الدوال.