حل المعادلات المثلثية والزوايا الربعية – رياضيات الخامس العلمي

في هذا الدرس نكمل معكم موضوع حل المعادلات المثلثية، وهو أحد أهم مواضيع الفصل الرابع في مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي. وسنتناول فيه بالشرح والتفصيل الزوايا الربعية والمنسوبة، وكيفية التعامل مع دوال الجيب (sin) وجيب التمام (cos) والظل (tan)، وصولاً إلى تطبيقات العلاقات المثلثية كعلاقة الضعف والنصف.

الزوايا الربعية وإشارات الدوال:

تعتمد الزوايا الربعية على تقسيم الدائرة إلى أربعة أرباع، ولكل ربع خصائص مختلفة من حيث إشارات الدوال المثلثية:

معلومة مهمة:

التان = sin ÷ cos
وعند تقسيم إشارات متشابهة (+/+ أو –/–) تكون النتيجة موجبة، بينما إذا اختلفت الإشارات فالنتيجة سالبة.

قوانين الزوايا المنسوبة:

هذه القوانين تساعدنا في معرفة موقع الزاوية في أي ربع وتحديد إشارتها:

• الربع الأول: الزاوية = نفسها
• الربع الثاني: الزاوية = 180° – θ
• الربع الثالث: الزاوية = 180° + θ
• الربع الرابع: الزاوية = 360° – θ

أمثلة محلولة: حل المعادلات المثلثية

المثال 1:

حل المعادلة:
$\sin(2x) = \sin(x + \frac{\pi}{2})$

التحليل:

1. نعيد كتابة $\frac{\pi}{2}$ على شكل $90^\circ$
2. نستخدم قاعدة الزاوية المنسوبة (زاوية في الربع الأول): $90^\circ + x$
3. نعرف أن $\sin(90^\circ + x) = \cos(x)$
4. نحصل على معادلة:
   $\sin(2x) = \cos(x)$
5. نفك علاقة ضعف الزاوية:
   $2 \sin(x) \cos(x) = \cos(x)$
6. ننقل جميع الحدود للطرف الأيسر ونصفر المعادلة:
   $2 \sin(x)\cos(x) – \cos(x) = 0$
7. نسحب عامل مشترك:
   $\cos(x)(2 \sin(x) – 1) = 0$

الحل:

• الحالة الأولى: $\cos(x) = 0$
  الزوايا التي تجعل الكوساين صفرًا:
  $x = 90^\circ, 270^\circ$
• الحالة الثانية: $2 \sin(x) – 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2}$
  الزاوية التي تحقق ذلك هي $30^\circ$ في الربعين الأول والثاني
  $x = 30^\circ, 150^\circ$

مجموعة الحل:
$x = 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 270^\circ$

تعريف مهم:

الزاوية المنسوبة:
هي الزاوية الناتجة من جمع أو طرح الزاوية الأصلية مع زوايا خاصة مثل 90°، 180°، 270°، 360°، وهي تستخدم لتحديد موضع الزاوية الجديدة في أحد الأرباع الأربعة.

مثال 2: معادلة تستخدم علاقة النصف:

$\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$

نستخدم علاقة نصف الزاوية:
$\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$

نضرب طرفي المعادلة بـ2 للتخلص من المقام، ثم نحول المعادلة إلى:

$2 \sin^2(x) = 1 – \cos(2x)$

نعوض أو نبسط بناءً على المطلوب في السؤال.

مثال 3: معادلة باستخدام التجربة

$\cos^2(x) – 3\cos(x) + 2 = 0$

نحلل باستخدام التجربة:

$(\cos(x) – 1)(\cos(x) – 2) = 0$

• $\cos(x) = 1 \Rightarrow x = 0°, 360°$
• $\cos(x) = 2$ غير ممكن (يهمل) لأن مدى الكوساين هو من –1 إلى +1

مجموعة الحل:
$x = 0^\circ, 360^\circ$

ملاحظة مهمة:

عند إيجاد مجموعة الحل يجب دائمًا مراعاة:

• قيمة الزاوية (من أي دالة: sin, cos, tan)
• في أي ربع تكون الدالة موجبة أو سالبة
• تطبيق الحكم المناسب للربع للحصول على الزاوية الصحيحة

مثال 4: تحويل المعادلة إلى دالة ظل (tan)

$\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = 1 \Rightarrow \tan(x) = 1$

الدالة تان تساوي 1 عند:

• $x = 45^\circ$ (في الربع الأول)
• $x = 225^\circ$ (في الربع الثالث)

مجموعة الحل:
$x = 45^\circ, 225^\circ$

التعريف الوزاري:

علاقة الضعف (Double Angle Identity):
$\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$
$\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)$

علاقة النصف (Half Angle Identity):
$\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$
$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$

الأسئلة المهمة وإجاباتها:

س: التان في أي ربع يكون موجب؟
ج: في الربع الأول والثالث.

س: متى يكون $\cos(x) = 0$؟
ج: عندما $x = 90^\circ$ أو $x = 270^\circ$

س: ما الزوايا التي تجعل $\tan(x) = 0$؟
ج: $x = 0^\circ, 180^\circ, 360^\circ$

خاتمة:

تم في هذا الدرس توضيح كيفية التعامل مع المعادلات المثلثية باستخدام القوانين الأساسية، والعلاقات المثلثية (الضعف والنصف)، والتجربة والتحليل، مع التركيز على أهمية الزوايا الربعية والمنسوبة، وكيفية تحديد الزاوية الصحيحة حسب موقعها.

احرص على حفظ القوانين والزاويا الخاصة (30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°)، لأنها أساس لحل هذا النوع من الأسئلة بسهولة.