شرح المشتقات وقواعد الاشتقاق – الرياضيات للصف الخامس العلمي

في هذا الدرس، سنتعرف على مفهوم المشتقة في الرياضيات، وكيفية التعامل مع الدوال واستخراج مشتقاتها باستخدام قواعد الاشتقاق الأساسية. يُعد هذا الموضوع من المواضيع المهمة والأساسية، ليس فقط للصف الخامس العلمي، بل أيضًا للصف السادس، حيث يتكرر بشكل موسع.

أولًا: ما المقصود بالمشتقة؟

المشتقة هي مقياس لمعدل تغير الدالة بالنسبة للمتغير. فعندما يُطلب منك إيجاد “مشتقة الدالة”، فإننا نبحث عن التغير في القيم الناتجة (Y أو F(x)) بالنسبة للمتغير (X).

• إذا كانت الدالة على الشكل:
  • $y = f(x)$ أو $y = x^2 + 3x$
  • فالمشتقة الأولى نرمز لها بـ:
    • $y’$ أو $f'(x)$ أو $\frac{dy}{dx}$

رموز المشتقة:

✅ ملاحظة: كل مشتقة تُستخرج من المشتقة التي قبلها، أي المشتقة الثانية تُستخرج من الأولى، والثالثة من الثانية، وهكذا.

ثانيًا: قواعد الاشتقاق الأساسية

سنشرح الآن ست قواعد رئيسية لاشتقاق الدوال، وهي القواعد التي يجب على كل طالب إتقانها:

القاعدة الأولى: مشتقة الثابت

• أي رقم بدون متغير (مثل 5، -10، $\frac{1}{2}$، $\sqrt{2}$) تكون مشتقته:
  • صفر

أمثلة:

ملاحظة: الرقم يجب أن يكون “وحده” بدون متغير حتى تعتبره ثابتًا.

القاعدة الثانية: مشتقة المتغير (بدون أس)

• إذا كانت الدالة تحتوي على متغير فقط أو رقم مضروب في المتغير:
  • $y = ax$
  • فالمشتقة تكون: المعامل فقط (a)

أمثلة:

القاعدة الثالثة: مشتقة المتغير المرفوع إلى أس

إذا كانت الدالة من الشكل:

• $y = ax^n$
• نطبق القاعدة:
  نضرب الأس بالمعامل، ثم نطرح من الأس 1

القانون:

$$y’ = a \cdot n \cdot x^{n-1}$$

أمثلة:

✅ ملاحظات مهمة:

• إذا كان الأس سالبًا مثل $x^{-3}$، نستخدم نفس القاعدة لكن عند الطرح يكبر الرقم بالسالب.
• إذا كان الأس كسرًا مثل $x^{\frac{1}{2}}$، نستخدم طريقة توحيد المقامات:
  • نطرح 1 كـ:

    $$\frac{1}{2} – 1 = \frac{-1}{2}$$

القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل ضرب دالتين

إذا كانت لدينا دالتان مضروبتان:
$y = u(x) \cdot v(x)$

القانون:

$$y’ = u \cdot v’ + v \cdot u’$$

أي:

• الأول في مشتقة الثاني
• زائد الثاني في مشتقة الأول

مثال:

$y = (x+1)(x-1)$

• الأول: $x+1$, مشتقته = 1
• الثاني: $x-1$, مشتقته = 1

$$y’ = (x+1)(1) + (x-1)(1) = x+1 + x-1 = 2x$$

القاعدة الخامسة: مشتقة قسمة دالتين

إذا كانت لدينا دالتان مقسومتان: $y = \frac{u(x)}{v(x)}$

القانون:

$$y’ = \frac{v \cdot u’ – u \cdot v’}{v^2}$$

أي:

• المقام في مشتقة البسط
• ناقص البسط في مشتقة المقام
• على المقام تربيع

مثال:

$y = \frac{x^2 + 3}{x – 1}$

• بسط: $x^2 + 3$, مشتقته: $2x$
• مقام: $x – 1$, مشتقته: $1$

$$y’ = \frac{(x – 1)(2x) – (x^2 + 3)(1)}{(x – 1)^2}$$

القاعدة السادسة: مشتقة قوس مرفوع إلى أس

إذا كانت الدالة على شكل:

$$y = [f(x)]^n$$

نطبق القاعدة:

• نضرب الأس في القوس
• نطرح من الأس واحد
• نضرب في مشتقة داخل القوس

القانون:

$$y’ = n \cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$$

مثال:

$y = (x^2 + 1)^3$

• الأس = 3
• مشتقة داخل القوس = $2x$

$$y’ = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$$

✅ ملاحظة: إذا كانت الدالة تحتوي على جذر:

• حول الجذر إلى أس كسر:

  $$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$$

• ثم طبق القاعدة الثالثة أو السادسة.

أسئلة وأجوبة تدريبية

س1: ما مشتقة الدالة $y = 5x^4 – 3x + 2$؟

الحل:

$$y’ = 20x^3 – 3$$

س2: ما مشتقة $f(x) = \frac{3}{x^2}$ باستخدام طريقة رفع المقام؟

الحل:

$$f(x) = 3x^{-2} \Rightarrow f'(x) = -6x^{-3}$$

س3: ما مشتقة $y = (x + 2)^4$؟

الحل:

$$y’ = 4(x + 2)^3 \cdot 1 = 4(x + 2)^3$$

خاتمة

بهذا نكون قد تعلمنا الأساسيات الكاملة لموضوع المشتقات وقواعد الاشتقاق الستة بطريقة مبسطة وتدريجية. تذكر أن فهم هذه القواعد سيجعل دراستك لمادة الرياضيات في الصف السادس أسهل بكثير. ننصحك بحل تمارين الكتاب باستخدام هذه القواعد حتى ترسخ المفاهيم في ذهنك.

إذا كان لديك أي سؤال، أضف تعليقًا، أو راجع القناة التعليمية الخاصة بالأستاذ مؤمل مهدي لمتابعة الشرح التفاعلي.