قواعد الاشتقاق ومعادلة المماس والاشتقاق الضمني ومشتقات الدوال المثلثية – رياضيات الخامس العلمي

في هذه الوحدة من الفصل السادس، سنتناول مجموعة من المفاهيم المتقدمة التي تعد أساسًا مهمًا لطلبة الخامس العلمي، وتمتد فائدتها إلى الصف السادس العلمي. سنغطي المواضيع التالية:

1. معادلة المماس للمنحني
2. الاشتقاق الضمني
3. التطبيقات الفيزيائية للاشتقاق
4. مشتقات الدوال المثلثية (الدائرية)

أولاً: معادلة المماس

تعريف:

معادلة المماس لخط منحني في نقطة معينة هي معادلة المستقيم الذي يلامس المنحني عند تلك النقطة ويملك نفس الميل عندها.

صيغة معادلة المماس:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

حيث:

• $x_1$: الإحداثي السيني للنقطة المعطاة.
• $y_1$: الإحداثي الصادي للنقطة.
• $m$: ميل المماس، ويُحسب من المشتقة الأولى عند $x_1$.

خطوات الحل:

1. إيجاد $y_1$: يتم ذلك بالتعويض عن $x_1$ في الدالة الأصلية.
2. إيجاد $m$: نشتق الدالة أولاً، ثم نعوض $x_1$ في المشتقة لنجد الميل.
3. التعويض في المعادلة: نضع القيم في الصيغة $y – y_1 = m(x – x_1)$، ثم نبسط.

مثال:

جد معادلة المماس للدالة $f(x) = 3 – x^2 – (1 – x)^4$ عند $x = 2$.

الحل:

• نحسب $y_1 = f(2)$.

  $$f(2) = 3 – 4 – (1 – 2)^4 = -1 – 1 = -2$$

• نشتق الدالة:

  $$f'(x) = -2x – 4(1 – x)^3(-1) = -2x + 4(1 – x)^3$$

• الميل:

  $$f'(2) = -4 + 4(1 – 2)^3 = -4 + 4(-1)^3 = -4 – 4 = -8$$

• نعوض:

  $$y + 2 = -8(x – 2) \Rightarrow y = -8x + 16 – 2 = -8x + 14$$

ثانياً: الاشتقاق الضمني

تعريف:

الاشتقاق الضمني يُستخدم عندما لا يمكن التعبير عن $y$ بدلالة $x$ مباشرة.

قاعدة الاشتقاق الضمني:

• نشتق كل طرف من المعادلة كالمعتاد.
• كلما اشتقينا $y$، نضرب بالمشتقة الرمزية $\frac{dy}{dx}$.

مثال:

إذا كانت $x^2 + y^2 = 10$، أوجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل:

• نشتق الطرفين:

  $$\frac{d}{dx}(x^2 + y^2) = \frac{d}{dx}(10) \Rightarrow 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$$

• نحل لـ $\frac{dy}{dx}$:

  $$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x}{2y} = \frac{-x}{y}$$

ثالثاً: التطبيقات الفيزيائية للاشتقاق

الرموز المهمة:

• $s(t)$ أو $b(t)$: الإزاحة
• $v(t)$: السرعة
• $a(t)$: التعجيل
• $t$: الزمن

العلاقات:

• السرعة: $v(t) = s'(t)$
• التعجيل: $a(t) = v'(t)$

مثال:

إذا كانت $b(t) = t^3 – 6t^2 + 9t + 1$، جد السرعة والتعجيل عند $t = 2$.

الحل:

• السرعة:

  $$v(t) = 3t^2 – 12t + 9 \Rightarrow v(2) = 3(4) – 24 + 9 = -3$$

• التعجيل:

  $$a(t) = 6t – 12 \Rightarrow a(2) = 0$$

رابعاً: مشتقات الدوال المثلثية (الدائرية)

الدوال الستة ومشتقاتها:

ملاحظات:

• أي دالة تبدأ بـ (co) تكون مشتقتها سالبة.
• يجب دائمًا ضرب المشتقة بمشتقة الزاوية الداخلية.

مثال:

أوجد مشتقة $\sin(2x)$

الحل:

$$\frac{d}{dx}[\sin(2x)] = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$$

مثال آخر:

أوجد مشتقة $\sec(3x + 1)$

الحل:

$$\frac{d}{dx}[\sec(3x + 1)] = \sec(3x + 1) \cdot \tan(3x + 1) \cdot 3$$

روابط مهمة بين المواضيع:

• معادلة المماس ترتبط مباشرة بـ المشتقة الأولى.
• الاشتقاق الضمني و مشتقات الدوال المثلثية غالبًا ما يستخدمان معًا في مسائل متقدمة.
• التطبيقات الفيزيائية تستفيد من الاشتقاق المباشر لدوال الحركة.

خاتمة

هذه المواضيع تمثل حجر الأساس لفهم مادة الرياضيات بشكل عميق، وتؤهلكم لتكونوا متميزين في السادس العلمي. ركزوا على الخطوات، وحافظوا على القوانين، وكرروا الأمثلة لفهم أفضل.