شرح مفصل لقواعد الاشتقاق – الرياضيات للصف الخامس العلمي | الفصل السادس

في هذا الفصل نغوص في عالم المشتقات وقواعدها الستة التي تُعد أساسًا مهمًا للصف السادس العلمي لاحقًا. تم تقسيم هذا الفصل إلى ثلاث حلقات تعليمية، حيث ركّزت الحلقة الأولى على شرح القواعد، والحلقة الثانية على تطبيق هذه القواعد من خلال تمارين الكتاب، إضافة إلى شرح قاعدتين مهمتين: قاعدة السلسلة والاشتقاق باستخدام التعريف.

مراجعة لقواعد الاشتقاق الستة

1. قاعدة الثابت: مشتقة الثابت = صفر.
2. قاعدة المعامل: مشتقة المعامل × الدالة = المعامل × مشتقة الدالة.
3. قاعدة الجمع والطرح: نشتق كل حد على حدة.
4. قاعدة الضرب: إذا كانت الدالة على شكل $f(x) = u(x) \cdot v(x)$، فإن مشتقتها تكون:

   $$f'(x) = u(x) \cdot v'(x) + v(x) \cdot u'(x)$$

5. قاعدة القسمة:

   $$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x) = \frac{v(x) \cdot u'(x) – u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$$

6. قاعدة القوى (إذا كانت دالة مرفوعة إلى أس):

   $$f(x) = [g(x)]^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$$

حل تمارين قواعد الاشتقاق من الكتاب

تمرين 6/1 (أ)

السؤال:
أوجد المشتقة الأولى للدالة التالية، ثم عوّض $x = 1$:

$$f(x) = 3x^2 + 4x + 2$$

الحل:
نستخدم القاعدة الثانية والثالثة:

$$f'(x) = 2 \cdot 3x^{2-1} + 4 = 6x + 4$$

نعوّض $x = 1$:

$$f'(1) = 6(1) + 4 = 10$$

أسئلة تحتوي على قسمة دالتين

مثال

$$f(x) = \frac{2x + 1}{x – 1}, \quad \text{أوجد } f'(2)$$

الحل: نطبق قاعدة القسمة:

$$f'(x) = \frac{(x – 1) \cdot 2 – (2x + 1) \cdot 1}{(x – 1)^2}$$

نبسط ونعوّض $x = 2$:

$$f'(2) = \frac{(1) \cdot 2 – (4 + 1)}{1^2} = \frac{2 – 5}{1} = -3$$

اشتقاق الجذر التربيعي بطريقة سريعة

عند اشتقاق دالة على شكل:

$$f(x) = \sqrt{g(x)}$$

نستخدم القاعدة التالية:

$$f'(x) = \frac{g'(x)}{2 \sqrt{g(x)}}$$

مثال

$$f(x) = \sqrt{x} \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

إيجاد مجال الدالة الجذرية

تعريف مجال الجذر التربيعي:

الجذر التربيعي غير معرّف عندما يكون ما تحته سالبًا. لذلك:

$$g(x) \geq 0$$

مثال

$$f(x) = \sqrt{x – 2} \Rightarrow x – 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$$

قاعدة السلسلة (Chain Rule)

التعريف

إذا كانت:

$$y = f(u), \quad u = g(x)$$

فإن:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

مثال

$$u = 4x + 3, \quad y = 3u^2 + 5$$

نحسب:

$$\frac{dy}{du} = 6u, \quad \frac{du}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 6u \cdot 4 = 24u \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 24(4x + 3) \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 96x + 72$$

الاشتقاق باستخدام التعريف

التعريف الرسمي

$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x}$$

خطوات الحل:

1. نحسب $f(x + \Delta x)$ عبر استبدال كل $x$ بـ $x + \Delta x$.
2. نطرح $f(x + \Delta x) – f(x)$.
3. نبسّط البسط ونختصر مع $\Delta x$.
4. نأخذ النهاية عند $\Delta x \to 0$.

مثال

$$f(x) = x^2 + 5x + 3 \Rightarrow f'(x) = ?$$

نحسب:

$$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 5(x + \Delta x) + 3 \Rightarrow x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 5x + 5\Delta x + 3$$

ثم نطرح $f(x + \Delta x) – f(x)$ ويختصر:

$$\frac{2x \Delta x + (\Delta x)^2 + 5 \Delta x}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 5$$

نأخذ النهاية:

$$f'(x) = 2x + 5$$

تحقق من النتيجة

باستخدام قواعد الاشتقاق:

$$f'(x) = 2x + 5$$

خاتمة

في هذه المحاضرة، تم شرح:

• القواعد الستة للاشتقاق.
• الاشتقاق باستخدام قاعدة السلسلة.
• اشتقاق الجذور التربيعية بطريقة مختصرة.
• تحديد مجال الدالة الجذرية.
• الاشتقاق باستخدام تعريف المشتقة.

هذا الشرح يمثل حجر الأساس لفهم التفاضل، وسيكون له أهمية كبيرة في مادة السادس العلمي. استمر في التدرب على التمارين ولا تتردد في مراجعة الأمثلة أكثر من مرة.