الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية – الرياضيات للصف الخامس العلمي

أولًا: ما هي الدالة الأسية؟

تعريف الدالة الأسية (تعريف وزاري):

الدالة الأسية هي دالة من الشكل:
$y = a^x$
حيث:

• $a$ هو الأساس (عدد حقيقي موجب لا يساوي 1).
• $x$ هو الأس (متغير حقيقي).
• $y$ هو الناتج أو العدد.

مثال:

$5^2 = 25$

• الأساس = 5
• الأس = 2
• العدد = 25
  إذن: $y = 5^x$ هي دالة أسية.

ثانيًا: ما هي الدالة اللوغاريتمية؟

تعريف الدالة اللوغاريتمية (تعريف وزاري):

الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية، وتُكتب بالشكل:
$x = \log_a(y)$
حيث:

• $a$ هو الأساس.
• $y$ هو العدد.
• $x$ هو الأس.

شروط الدالة اللوغاريتمية:

1. $a > 0$ و $a \neq 1$
2. $y > 0$
3. $x \in \mathbb{R}$ (عدد حقيقي)

مثال:

$2 = \log_5(25)$
تعني أن:
$5^2 = 25$

ثالثًا: العلاقة بين الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية

• الدالة اللوغاريتمية هي العكس (المعكوس) للدالة الأسية.

رابعًا: تحويل الدالة الأسية إلى دالة لوغاريتمية

طريقة التحويل الكلاسيكية:

1. نحدد:
   • الأساس (a)
   • الأس (x)
   • العدد (y)
2. نكتب الصيغة:
   • من $y = a^x$
   • إلى $x = \log_a(y)$

مثال:

$125 = 5^3$
تحويلها:
$3 = \log_5(125)$

خامسًا: تحويل الدالة اللوغاريتمية إلى دالة أسية

طريقة كاظم الساهر “عبرت الشط على مودك” (طريقة الأستاذ مؤمل):

• من $x = \log_a(y)$
• نحذف “log”
• نجعل الأساس (a) يعبر إلى الجهة الثانية ويحمل “x” كقوة له.
• الناتج يكون:
  $y = a^x$

مثال:

$2 = \log_7(49)$
التحويل:
$49 = 7^2$

سادسًا: أمثلة محلولة

مثال 1: تحويل دالة أسية إلى لوغاريتمية

$25 = 5^2$
الحل:

• الأساس: 5
• الأس: 2
• العدد: 25
  إذن: $2 = \log_5(25)$

مثال 2: تحويل دالة لوغاريتمية إلى أسية

$3 = \log_7(343)$
الحل:

• نحذف log
• نجعل 7^3 = 343
  إذن: $343 = 7^3$

مثال 3: تحويل بطريقة مؤمل

$2 = \log_5(25)$
نبدل 2 مع 25 ونضيف log: $\log_5(25) = 2$

سابعًا: أسئلة وزارية مهمة

سؤال 1:

عرف الدالة اللوغاريتمية؟
الجواب:
هي دالة من الشكل $x = \log_a(y)$ وتُمثل الدالة المعاكسة للدالة الأسية $y = a^x$.

سؤال 2:

ما شروط الأساس والعدد في الدالة اللوغاريتمية؟
الجواب:

• الأساس $a > 0$ و $a \neq 1$
• العدد $y > 0$

سؤال 3:

حول الدالة $81 = 3^4$ إلى دالة لوغاريتمية.
الجواب:
$4 = \log_3(81)$

سؤال 4:

حول الدالة $x = \log_2(8)$ إلى دالة أسية.
الجواب:
$8 = 2^x$

ثامنًا: نصائح الأستاذ مؤمل مهدي:

• لا تحفظ بدون فهم، بل افهم العلاقة بين الدالتين.
• استخدم طريقة التبديل في التحويل بين الأسية واللوغاريتمية.
• اعتمد على الأسلوب السهل في الحل، وكرر التمارين حتى ترسخ في ذهنك.
• تابع المحاضرات القادمة التي تتضمن حل تمارين الكتاب بالكامل.