شرح درس المتتابعات – الرياضيات للصف الخامس العلمي

تعريف المتتابعة

المتتابعة هي دالة، لكن مجالها خاص، إذ أن:

🔹 مجال المتتابعة هو مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة فقط
أي:
$n \in \mathbb{Z}^+ \Rightarrow n = 1, 2, 3, 4, \dots$

أما المدى، فهو الناتج من تطبيق هذه القيم داخل القانون العام للمتتابعة.

الفرق بين المجال والمدى:

تمثيل المتتابعة

المتتابعة يمكن أن تُمثّل بطريقتين:

1. على شكل أزواج مرتبة: مثل (1, a₁)، (2, a₂)، …
2. على شكل متسلسل داخل أقواس (< >): مثل:

   $$< a_1, a_2, a_3, \dots >$$

الحد العام للمتتابعة

الحد العام نرمز له بـ:

$$U_n \quad \text{أو} \quad a_n$$

وهو الصيغة التي تُستخدم لإيجاد حدود المتتابعة المختلفة من خلال تعويض قيم $n$.

مثال: إذا كان
$U_n = 2n + 1$
فإن:

$$U_1 = 3,\quad U_2 = 5,\quad U_3 = 7,\quad \text{وهكذا…}$$

أنواع المتتابعات

1. متتابعة منتهية: تبدأ وتنتهي بعدد معين من الحدود.
   

   مثل: < 2, 4, 6, 8 >

2. متتابعة غير منتهية: ليس لها نهاية محددة، وتُكتب عادةً بإضافة “…” للدلالة على الاستمرار.
   

   مثل: < 1, 2, 3, … >

مثال 1: متتابعة بثابت عددي

إذا أعطينا قانون المتتابعة كالتالي:

$$U_n = 3$$

هنا لا يوجد متغير $n$ في القانون، أي أن جميع الحدود ستكون مساوية لـ 3.

$$< 3, 3, 3, 3, 3, 3 >$$

وتُسمى هذه بـ المتتابعة الثابتة.

مثال 2: متتابعة بدلالة $n$

إذا كان:

$$U_n = n^2 – 2n$$

نحسب أول 6 حدود:

المتتابعة تكون:

$$< -1, 0, 3, 8, 15, 24 >$$

مثال 3: متتابعة كسرية

إذا كان:

$$U_n = \frac{6}{n}$$

نحسب أول 6 حدود:

المتتابعة:

$$< 6, 3, 2, \frac{3}{2}, \frac{6}{5}, 1 >$$

ملاحظة مهمة

إذا لم يكن هناك حرف $n$ في الحد العام، فستكون المتتابعة ثابتة، وكل الحدود تأخذ نفس القيمة.

مثل: $U_n = 2 \Rightarrow < 2, 2, 2, 2, 2, 2 >$

مثال 4: متتابعة غير منتهية

إذا كان:

$$U_n = \frac{1}{n}$$

نحسب أول 3 حدود فقط، ونضيف (…) لأنها غير منتهية:

$$< 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, … >$$

سؤال مفاهيمي

هل تمثل الدالة $f(n)$ حيث $n \in \mathbb{R}$ متتابعة؟

❌ لا، لأن مجال المتتابعة يجب أن يكون $\mathbb{Z}^+$ أي الأعداد الصحيحة الموجبة فقط.

مثال 5: متتابعة معرفَة بالتكرار

إذا أعطي:

• $U_1 = 1$
• $U_{n+1} = \frac{4}{1 + U_n}$

نحسب:

• $U_2 = \frac{4}{1 + 1} = 2$
• $U_3 = \frac{4}{1 + 2} = \frac{4}{3}$
• $U_4 = \frac{4}{1 + \frac{4}{3}} = \frac{4}{\frac{7}{3}} = \frac{12}{7}$
• $U_5 = \frac{4}{1 + \frac{12}{7}} = \frac{4}{\frac{19}{7}} = \frac{28}{19}$
• $U_6 = \frac{4}{1 + \frac{28}{19}} = \frac{4}{\frac{47}{19}} = \frac{76}{47}$

المتتابعة:

$$< 1, 2, \frac{4}{3}, \frac{12}{7}, \frac{28}{19}, \frac{76}{47} >$$

أسئلة وتدريبات

1. ما المجال الذي تنتمي إليه المتتابعة؟
   • الجواب: $\mathbb{Z}^+$ أي الأعداد الصحيحة الموجبة فقط.
2. هل تعتبر $f(n)$ معرفة على $\mathbb{R}$ متتابعة؟
   • الجواب: لا، لأن المجال غير صحيح.
3. ما نوع المتتابعة التالية؟
   $< 5, 5, 5, 5, 5 >$
   • الجواب: متتابعة ثابتة ومنتهية.

خاتمة

بهذا نكون قد فهمنا درس المتتابعات من أساسه. تعرفنا على:

• تعريف المتتابعة
• الفرق بين المجال والمدى
• طريقة حساب الحدود
• أنواع المتتابعات
• أمثلة تطبيقية

في الدروس القادمة سنكمل أمثلة متقدمة ونتناول تمارين الكتاب بتفصيل أكبر، ونتدرب على مهارات استنتاج الحدود والمتتابعات الهندسية والمتتابعات الحسابية.

ابقَ مستعدًا، وراجع هذا الدرس جيدًا، لأنه يُعتبر قاعدة لما سيأتي لاحقًا من مفاهيم أعمق.