درس الغاية والاستمرارية – رياضيات الخامس العلمي
في هذا الدرس، نبدأ الفصل الخامس من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، وهو فصل جديد يحمل عنوان “الغاية والاستمرارية”. يُعد هذا الفصل أحد المفاتيح الأساسية لفهم الرياضيات الحديثة، وله علاقة وثيقة بالمواضيع التي ستُدرّس لاحقًا في الصف السادس العلمي.
أولًا: تعريف الغاية (Limit)
تعريف الغاية: الغايـة (Limit) هي القيمـة التي تقترب منها مخرجات الدالة (f(x عندما تقترب المدخلات (x) من قيمة معينة.
رمز الغاية: يُرمز للغايـة بالرمز:
Lim f(x) as x → a
ويُقرأ: “ليمت اف إكس عندما تقترب إكس من a”.
ثانيًا: خطوات حل مسائل الغاية للدوال كثيرة الحدود
أنواع الدوال التي تُدرس في الغاية:
- دوال كثيرة الحدود
- الدوال الكسرية (النسبيّة)
- الدوال الشطرية (الفرعية)
- الدوال الجذرية
- الدوال المثلثية
أولًا: دوال كثيرة الحدود
تعريف: هي دوال لا تحتوي على كسر أو جذر، وتكون متكونة من حدود متعددة مثل:
f(x) = x² – 3x + 2
شكلها العام:
- الأكس دائمًا يكون في البسط
- لا تحتوي على جذور أو مقامات
طريقة الحل:
- نحذف كلمة lim من السؤال.
- نعوّض قيمة x المطلوبة في كل مكان بالدالة.
- نوجد الناتج النهائي.
مثال:
أوجد الغاية:
lim (x² – 3x + 2) when x → 1
الحل:
- نحذف lim.
- نعوض x = 1:
(1)² – 3(1) + 2 = 1 – 3 + 2 = 0
الناتج النهائي = 0
ثالثًا: الدوال الكسرية (النسبيّة)
تعريف: هي الدوال التي يكون فيها x في المقام، مثال:
f(x) = (x² – 1) / (x – 1)
طريقة الحل تعتمد على قيمة المقام:
الحالة (أ): المقام لا يساوي صفر
- نستخدم نفس طريقة دوال كثيرة الحدود.
- نحذف lim ونعوض مباشرة.
الحالة (ب): المقام يساوي صفر
- لا يجوز التعويض مباشرة.
- نحلل البسط والمقام ثم نختصر.
- بعدها نعوّض.
أمثلة على الحالة (ب):
مثال 1:
lim [(x² – 1) / (x – 1)] when x → 1
- المقام = 1 – 1 = 0 → لا يمكن التعويض
- نحلل البسط:
x² – 1 = (x – 1)(x + 1)
- الاختصار:
(x – 1) / (x – 1) = 1
- يتبقى:
lim (x + 1) when x → 1 → 1 + 1 = 2
الناتج = 2
رابعًا: طرق التحليل المطلوبة
في حالة وجود مقام = صفر، نحتاج إلى تحليل البسط والمقام. أهم طرق التحليل:
1. العامل المشترك:
نسحب العامل المشترك الموجود في كل الحدود.
مثال:
2x² – 4x = 2x(x – 2)
2. الفرق بين مربعين:
ينطبق على الصيغة:
a² – b² = (a – b)(a + b)
مثال:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3)
3. الفرق أو مجموع مكعبين:
- الفرق:
a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²) - المجموع:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
مثال:
x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4)
4. التحليل بالتجربة:
تستخدم إذا كانت الدالة تتكون من ثلاث حدود وتبدأ بـ x².
مثال:
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
خامسًا: تمارين مهمة من الكتاب
مثال تطبيقي من التمارين:
lim [(x² – 3x + 2) / (x – 1)] when x → 1
- المقام = 1 – 1 = 0 → تحليل
- تحليل البسط:
x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)
- الاختصار: (x – 1)
- يتبقى:
lim (x – 2) when x → 1 = 1 – 2 = -1
الناتج النهائي = -1
سادسًا: خلاصة الدرس
| نوع الدالة | طريقة الحل |
|---|---|
| كثيرة الحدود | تعويض مباشر بعد حذف lim |
| كسرية (المقام ≠ 0) | تعويض مباشر بعد حذف lim |
| كسرية (المقام = 0) | تحليل واختصار ثم تعويض |
| جذرية | تُعالَج لاحقًا بتقنيات الجذور |
| مثلثية | تحتاج قوانين خاصة كالساين والكوساين |
سابعًا: أسئلة تفاعلية – تحقق من فهمك
- أوجد:
lim [(x² – 9) / (x – 3)] when x → 3الحل:
x² – 9 = (x – 3)(x + 3) الناتج = 6 - أوجد:
lim [(x³ – 8) / (x – 2)] when x → 2الحل:
فرق بين مكعبين → (x – 2)(x² + 2x + 4) الناتج = 12
ختامًا
موضوع الغاية يُعد مدخلًا مهمًا للفهم العميق للتغيرات في الدوال. الخطوات بسيطة ولكن تحتاج إلى تركيز في التحليل والاختصار قبل التعويض. تأكد من إتقان أنواع التحليل المختلفة لأنها مفتاح حل العديد من الأسئلة في هذا الفصل.
تابعونا في المحاضرات القادمة حيث سننتقل إلى الاستمرارية وقواعد التعامل مع بقية أنواع الدوال (الجذرية والمثلثية). ولا تنسوا أن المراجعة المستمرة وحل التمارين هما طريقكم نحو الاعفاء بإذن الله!