حل المعادلات اللوغاريتمية – الدرس الثاني في فصل اللوغاريتمات

مقدمة

في هذه الحلقة، نكمل شرح فصل اللوغاريتمات ضمن مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي. حيث نركّز على أسئلة حل المعادلات اللوغاريتمية وهي من أهم الأسئلة التي ترد في الامتحانات الشهرية ونصف السنة، وتُعد أساسية في تحقيق هدف “الإعفاء” إن أتقنها الطالب.

تعريف: الدالة اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية هي دالة من الشكل:

$$\log_a(y) = x$$

ويتكوّن هذا التعبير من ثلاثة أجزاء:

• الأساس (a)
• العدد (y)
• الناتج (x) أو اللوغاريتم

أنواع أسئلة حل المعادلات اللوغاريتمية

في هذا النوع من الأسئلة، يُطلب من الطالب إيجاد قيمة x، وقد تكون المجهول في أحد هذه المواضع:

1. x كعدد: أي أن العدد هو المجهول.
2. x كأساس: أي أن الأساس مجهول.
3. x كناتج: أي أن اللوغاريتم الناتج هو المجهول.

خطوات الحل

القاعدة الذهبية للحل هي:

تحويل الدالة اللوغاريتمية إلى دالة أسية

وذلك باستخدام طريقة الأستاذ “كاظم الساهر”، وهي قاعدة شعبية لتسهيل الفهم:

• نحذف كلمة “لـوغ”
• نأخذ الأساس ونعبر به “الشط” ليصبح في الجهة الأخرى
• يصبح الناتج هو الأس، والعدد يبقى في مكانه

مثال:

$$\log_3(x) = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$$

أولًا: عندما يكون العدد مجهولًا

مثال وزاري:

$$\log_3(x) = 4$$

الحل:

1. نحول الدالة إلى أسية:

   $$x = 3^4 = 81$$

2. التحقق:

   $$\log_3(81) = 4 ✔$$

ثانيًا: عندما يكون الأساس مجهولًا

مثال وزاري:

$$\log_x(64) = 6$$

الحل:

1. تحويل إلى دالة أسية:

   $$64 = x^6$$

2. نكتب 64 كقوة لعدد:

   $$64 = 2^6 ⇒ x = ±2$$

ملاحظة وزارية مهمة:
عندما يكون الأس زوجيًا، يجب وضع موجب وسالب في الحل.

ثالثًا: عندما يكون الناتج (اللوغاريتم) مجهولًا

مثال:

$$\log_5(1/125) = x$$

الحل:

1. تحويل إلى دالة أسية:

   $$5^x = \frac{1}{125}$$

2. نعلم أن $125 = 5^3$ وبالتالي:

   $$\frac{1}{125} = 5^{-3} ⇒ x = -3$$

حالات خاصة – التحويل من كسر عشري إلى أس عشري

مثال:

$$\log_{10}(0.00001) = x$$

الحل:

1. نحول العدد العشري إلى أس عشري:

   $$0.00001 = 10^{-5}$$

2. إذن:

   $$x = -5$$

معلومة مهمة: إذا جاء الرقم بشكل عشري، نحسب عدد المراتب بعد الفاصلة ونجعله أسًا سالبًا للعدد 10.

مسائل كلامية – فهم السؤال وتكوين المعادلة

صيغة السؤال:

“جد العدد الذي لوغاريتمه للأساس 1/4 يساوي 2.5”

الحل:

1. العدد هو المجهول: $x$
2. المعادلة تصبح:

   $$\log_{1/4}(x) = 2.5 \Rightarrow x = \left(\frac{1}{4}\right)^{2.5}$$

3. نكتب 2.5 ككسر:

   $$2.5 = \frac{5}{2} \Rightarrow x = \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{5}{2}}$$

4. نوزع الأس على البسط والمقام ونستخدم القاعدة:

   $$x = \frac{1^5}{4^5} = \frac{1}{1024}$$

ملاحظات وزارية مهمة

• إذا تساوت الأسس في معادلتين، فإن الأساسات تتساوى
• عند وجود أس كسر، يجب توزيعه على كل من البسط والمقام
• الرقم 1 مرفوع لأي أس يساوي دائمًا 1
• عند التحويل من لوغاريتم إلى دالة أسية، حافظ على نفس الترتيب لضمان دقة الحل

أسئلة وزارية محتملة

س1: جد قيمة $x$ إذا كانت:

$$\log_x(343) = 3$$

الحل:
343 = $7^3$ ⇒ $x = 7$

س2: جد قيمة اللوغاريتم:

$$\log_2\left(\frac{1}{32}\right)$$

الحل:
32 = $2^5$ ⇒ $\frac{1}{32} = 2^{-5}$ ⇒ الناتج = -5

س3: إذا كان:

$$\log_x(0.01) = -2$$

الحل:
$x^{-2} = 0.01$ ⇒ $x = 10$

خلاصة

في هذا الدرس تعلمنا:

• كيفية التعامل مع ثلاثة أنواع من معادلات اللوغاريتم
• خطوات تحويل اللوغاريتم إلى دالة أسية
• كيفية استخراج المجهول سواء كان الأساس، العدد أو الناتج
• أفكار وزارية متكررة وأسئلة كلامية

احرص على حفظ القواعد الأساسية وفهم طريقة التحويل، فغالبًا ما تكون هذه الأسئلة حاضرة في الامتحان الوزاري.