الغاية والاستمرارية – الدوال الكسرية والشطرية

في هذا الدرس، سنتعرف على موضوعين رئيسيين هما:

1. الغايات في الدوال الكسرية والجذرية.
2. الدوال الشطرية (الفرعية) وكيفية التعامل مع الغايات عند الحدود الفاصلة.

سنستخدم أسلوبًا مبسطًا مع أمثلة مباشرة، ونُعرّف المفاهيم بطريقة تساعد الطلبة على الفهم والتطبيق.

أولًا: الغاية في الدوال الكسرية والجذرية

تعريف الغاية:

الغاية (Limit) هي القيمة التي تقترب منها الدالة عندما تقترب قيمة المتغير (عادةً x) من عدد معين.

أنواع الدوال الكسرية

تنقسم الدوال الكسرية من حيث الغاية إلى ثلاثة أنواع:

النوع الأول:

عند التعويض المباشر لا يكون هناك أي مشكلة، أي أن المقام لا يصبح صفرًا، مثل:

$$\lim_{x \to 2} \frac{x+1}{x-1}$$

يُعوض مباشرة ويحسب الناتج.

النوع الثاني:

عند التعويض تصبح قيمة المقام صفر، مما يعني أن هناك مشكلة في الغاية، ويجب التحليل أو الاختصار:

مثال:

$$\lim_{x \to a} \frac{x^3 – a^3}{x – a}$$

يُستخدم هنا تحليل الفرق بين مكعبين:

$$x^3 – a^3 = (x – a)(x^2 + ax + a^2)$$

يُختصر العامل المشترك (x – a) ويبقى الباقي.

النوع الثالث:

إذا كان الكسر يحتوي على جذر في البسط أو المقام، لا يُمكن التحليل، ويُستخدم ضرب المرافق.

ما هو المرافق؟

المرافق لعدد على صورة $\sqrt{a} \pm b$ هو نفس العدد مع عكس إشارة الوسط.
مثال:

• مرافق $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ هو $\sqrt{3} – \sqrt{2}$
• مرافق $\sqrt{x} – 1$ هو $\sqrt{x} + 1$

قاعدة الضرب بالمرافق (الطريقة السريعة):

عند ضرب عدد في مرافقه:

$$(a + b)(a – b) = a^2 – b^2$$

مثال تطبيقي:

$$(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} – \sqrt{2}) = 3 – 2 = 1$$

وهذه الطريقة تُسمى طريقة مؤمل السريعة.

تطبيق في الغايات:

عند وجود غاية فيها جذر، مثل:

$$\lim_{x \to a} \frac{\sqrt{x} – \sqrt{a}}{x – a}$$

نضرب البسط والمقام بمرافق البسط:

$$\frac{\sqrt{x} – \sqrt{a}}{x – a} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{a}}{\sqrt{x} + \sqrt{a}}$$

ويُبسط الناتج باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين.

ثانيًا: الدوال الشطرية (الفرعية)

تعريف الدالة الشطرية:

هي دالة تحتوي على أكثر من قانون، يُطبّق كل قانون حسب شرط معين لقيمة x.

مثال:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4 & x \geq 1 \\ 5x & x < 1 \end{cases}$$

المصطلحات المهمة:

• الحد الفاصل: الرقم الذي يحدد التحوّل بين القيمتين.
• يمين الحد: نكتب $x \to a^+$
• يسار الحد: نكتب $x \to a^-$

كيفية إيجاد الغاية للدالة الشطرية:

الحالة الأولى: إذا طلب الغاية عند الحد الفاصل

مثلاً: $\lim_{x \to 1} f(x)$

نحسب الغاية مرتين:

1. من اليمين: نعوض في الدالة التي تحتوي $x \geq 1$
2. من اليسار: نعوض في الدالة التي تحتوي $x < 1$

• إذا كانت النتيجتان متساويتين → الغاية موجودة
• إذا كانتا مختلفتين → الغاية غير موجودة

الحالة الثانية: إذا طلب الغاية عند رقم غير الحد الفاصل

هنا نعوّض مرة واحدة، لكن نحدد هل الرقم أكبر أم أصغر من الحد الفاصل، ونختار الدالة المناسبة.

مثال:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4 & x \geq 1 \\ 5x & x < 1 \end{cases}$$

إذا طُلب: $\lim_{x \to 2} f(x)$
2 أكبر من 1 → نستخدم الدالة الأولى:

$$f(2) = 2^2 + 4 = 8$$

مثال تطبيقي من الكتاب:

السؤال:

هل الغاية موجودة عند $x = 1$ للدالة:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4 & x \geq 1 \\ 5x & x < 1 \end{cases}$$

نحسب الغاية مرتين:

• من اليمين: $f(1) = 1^2 + 4 = 5$
• من اليسار: $f(1) = 5(1) = 5$

النتيجتان متساويتان → الغاية موجودة وتساوي 5

تمرين فيه متغيرات (بي، سي)

يُطلب إيجاد قيمة المتغيرات:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + b & x \geq 2 \\ c – 2x & x < 2 \end{cases}$$

والمعطى: $\lim_{x \to 2} f(x) = 11$

الحل:

نحسب الغاية مرتين ونساوي الناتج بـ 11:

1. من اليمين: $2^2 + b = 4 + b = 11 → b = 7$
2. من اليسار: $c – 2(2) = c – 4 = 11 → c = 15$

ملخص

• الغاية تُحسب إما بالتعويض أو بالتحليل أو بضرب المرافق.
• إذا كان في الكسر جذر، نضرب بالمرافق.
• الدوال الشطرية تتطلب تعويضًا حسب الجهة (يمين أو يسار الحد الفاصل).
• إذا كانت الغايتان متساويتين → الغاية موجودة.
• الغايات التي تحتوي على متغيرات تُحل بإيجاد كل طرف ومساواته بالقيمة المعطاة.