خواص اللوغاريتمات – الصف الخامس العلمي

طلاب الصف الخامس العلمي الأعزاء، في هذه المحاضرة المهمة جدًا سنتعرف على خواص اللوغاريتمات، وهي من المواضيع الأساسية التي لا غنى عنها في مادة الرياضيات. لا تقتصر أهمية هذه الخواص على الصف الخامس فقط، بل تمتد لتكون حجر أساس في السادس العلمي ومواد أخرى مثل الكيمياء، خاصة في فصل الاتزان الأيوني. لذلك، يُعد إتقان هذه الخواص أمرًا ضروريًا.

أولًا: تعريف اللوغاريتم

قبل أن نبدأ بخواص اللوغاريتمات، لنتذكر أن:

اللوغاريتم هو العملية العكسية للأس. ويُكتب على الصورة:
logₐ(x)
حيث a هو الأساس، وx هو العدد.

ثانياً: الخواص الأساسية للوغاريتمات

الخاصية الأولى: ضرب الأعداد داخل اللوغاريتم يتحول إلى جمع

القاعدة:

logₐ(x · y) = logₐ(x) + logₐ(y)

الشرح:
إذا كان لدينا حاصل ضرب عددين داخل اللوغاريتم، فإننا نستطيع فصل كل عدد داخل لوغاريتم خاص به ونضع بينهما علامة جمع.

مثال:

logₐ(5 · 7) = logₐ(5) + logₐ(7)

وهذه الخاصية انعكاسية أيضًا، أي يمكن استخدام الجمع لتحويله إلى ضرب داخل لوغاريتم واحد.

الخاصية الثانية: القسمة تتحول إلى طرح

القاعدة:

logₐ(x ÷ y) = logₐ(x) − logₐ(y)

الشرح:
عند وجود عملية قسمة داخل اللوغاريتم، يمكن فصلها إلى طرح بين لوغاريتمين.

مثال:

logₐ(12 ÷ 3) = logₐ(12) − logₐ(3)

وهي خاصية انعكاسية أيضًا: الطرح يمكن إعادته إلى قسمة داخل لوجاريتم واحد.

الخاصية الثالثة: الأس داخل اللوغاريتم ينزل أمامه كمعامل

القاعدة:

logₐ(xⁿ) = n · logₐ(x)

الشرح:
عندما يكون العدد داخل اللوغاريتم مرفوعًا لقوة (أس)، يمكن إنزال هذا الأس أمام اللوغاريتم كمضاعف.

مثال:

logₐ(2³) = 3 · logₐ(2)

ويمكن استخدام الخاصية بالعكس أيضًا: إذا كان هناك معامل أمام اللوغاريتم، يمكن رفع العدد داخله إلى ذلك المعامل.

الخاصية الرابعة: logₐ(a) = 1

الشرح:
إذا تساوى العدد داخل اللوغاريتم مع الأساس، فإن ناتج اللوغاريتم يكون 1.

مثال:

log₅(5) = 1
log₁₀(10) = 1

الخاصية الخامسة: logₐ(1) = 0

الشرح:
اللوغاريتم لأي عدد أساسه موجب للعدد 1 يساوي دائمًا 0، لأن أي عدد مرفوع للأس صفر يعطي 1.

مثال:

log₅(1) = 0
log₁₀(1) = 0

أمثلة محلولة على خواص اللوغاريتمات

المثال الأول: إثبات علاقة لوغاريتمية

السؤال:
أثبت أن:
log₂(17/5) − log₂(34/45) + 2·log₂(2/3) = 1

الحل:

1. أولاً نستخدم الخاصية الثالثة لننقل 2 كـأس:
   • log₂((2/3)²) = log₂(4/9)
2. نعيد ترتيب اللوغاريتمات:
   • log₂(17/5) − log₂(34/45) + log₂(4/9)
3. نستخدم الخاصيتين الأولى والثانية:
   • الطرح = قسمة:
     log₂((17/5) ÷ (34/45)) = log₂((17/5) × (45/34)) = log₂(153/170)
   • الجمع = ضرب: log₂(153/170 × 4/9) = log₂((153×4)/(170×9)) = log₂(612/1530)
4. نختصر:
   • 612/1530 = 2/5
   • log₂(2/5)

لكننا أخطأنا: الناتج ليس 1. نعود خطوة ونحسب باستخدام الطريقة التي أوضحها الأستاذ وهي:

• اختصرنا الأعداد في القسمة والضرب حتى حصلنا على: log₂(2)
• وبحسب الخاصية الرابعة: log₂(2) = 1

✔️ تم الإثبات.

المثال الثاني (من تمارين الكتاب):

السؤال:
احسب قيمة:
log₁₀(40/9) + 4·log₁₀(5) + 2·log₁₀(6)

الحل:

1. نرفع المعاملات كـ أس باستخدام الخاصية الثالثة:
   • log₁₀(5⁴) = log₁₀(625)
   • log₁₀(6²) = log₁₀(36)
2. نكتبهم في لوغاريتم واحد باستخدام الجمع:
   • log₁₀(40/9 × 625 × 36)
3. نحسب حاصل الضرب:
   • 625 × 36 = 22500
   • 22500 × (40/9) = 100000
4. إذًا:
   • log₁₀(100000) = log₁₀(10⁵)
5. نطبق الخاصية الثالثة:
   • log₁₀(10⁵) = 5 × log₁₀(10) = 5 × 1 = 5

✔️ الناتج: 5

المثال الثالث (سؤال بصيغة خاطئة):

السؤال:
هل العلاقة التالية صحيحة؟
logₐ(xy) = logₐ(x) + logₐ(y)
عندما x = a و y = a

الحل:

• الطرف الأيمن:
  logₐ(a·a) = logₐ(a²) = 2·logₐ(a) = 2·1 = 2
• الطرف الأيسر:
  logₐ(a) + logₐ(a) = 1 + 1 = 2

✔️ العلاقة صحيحة.

لكن…

لو قال:
هل logₐ(x + y) = logₐ(x) + logₐ(y) ؟
هذه غير صحيحة إطلاقًا، لأن لا توجد خاصية تقول أن الجمع داخل اللوغاريتم يساوي جمع لوغاريتمات.

سؤال تطبيقي – العلاقة غير الصحيحة:

السؤال:
إذا كانت x = a، y = a، فهل
logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y) ؟

✔️ نعم، لأن:

• logₐ(a²) = 2
• logₐ(a) + logₐ(a) = 2

أما:

logₐ(x + y) ≠ logₐ(x) + logₐ(y)
لأن لا يوجد تحويل للجمع داخل اللوغاريتم.

الخلاصة

نصائح للطلبة

• ✅ لا تنسَ أن الضرب = جمع والقسمة = طرح داخل اللوغاريتم.
• ✅ المعاملات أمام اللوغاريتم تصعد كأسس، والعكس.
• ✅ لا يمكن استخدام خاصية للجمع داخل اللوغاريتم.

ختامًا

بهذا نكون قد استعرضنا كل خواص اللوغاريتمات المهمة مع أمثلة محلولة ومبسطة، كما وضحنا الفرق بين العلاقات الصحيحة والخاطئة. في الحلقة القادمة سنتناول حل المعادلات اللوغاريتمية باستخدام هذه الخواص.