غاية الدالة المطلقة والدوال المثلثية – رياضيات الخامس العلمي

في هذا الدرس نكمل شرح موضوع الغايات في الفصل الخامس، ونركّز على نوعين من الدوال:

1. الدالة المطلقة
2. الدوال المثلثية (الساين والتان)

وسنتعلّم كيف نحسب غاية هذه الدوال باستخدام خطوات واضحة مع أمثلة عملية من تمارين الكتاب.

أولًا: غاية الدالة المطلقة

تعريف الدالة المطلقة:

الدالة المطلقة هي دالة تحتوي على رمز القيمة المطلقة | |. وتكتب عادةً بهذا الشكل:
f(x) = |داخل المطلق|

طريقة حل غاية الدالة المطلقة:

الخطوة الأولى: إيجاد الحد الفاصل

نأخذ ما بداخل المطلق فقط، ونساويه بالصفر:

• داخل المطلق = 0
• الناتج هو قيمة تسمى الحد الفاصل

مثال: إذا كانت الدالة:
f(x) = |x – 1| / (x – 1)
نأخذ داخل المطلق:
x – 1 = 0 ⟹ x = 1
→ هذا هو الحد الفاصل.

الخطوة الثانية: تحويل الدالة إلى دالة شطرية

نحول الدالة المطلقة إلى دالة شطرية:

إذا كانت الدالة هي:
f(x) = |x – 1| / (x – 1)

نكتبها على الشكل:

• إذا x ≥ 1: نعوض داخل المطلق كما هو.
• إذا x < 1: نضرب داخل المطلق بسالب.

فنحصل على:

f(x) =
{
(x – 1)/(x – 1)   إذا x ≥ 1
-(x – 1)/(x – 1)  إذا x < 1
}

الحساب:

• للفوق: (x – 1)/(x – 1) = 1
• للتحت: -(x – 1)/(x – 1) = -1

إذن لدينا:

• غاية الدالة من جهة اليمين (يمين 1) = 1
• غاية الدالة من جهة اليسار (يسار 1) = -1

بما أن الغايتين غير متساويتين، إذن الغاية غير موجودة.

ثانيًا: غاية الدوال المثلثية (الدائرية)

الدوال المشمولة:

• الساين (sin)
• التان (tan)
  (لا توجد قاعدة خاصة بالكوساين لأنه لا يسبب مشكلة عند التعويض)

قاعدة غاية الساين:

إذا كانت الدالة:
lim [sin(x)] / x حيث x → 0،
فإن الغاية = 1، بشرط أن تكون الزاوية نفسها في البسط والمقام.

مثال: lim [sin(3x)] / 3x = 1

قاعدة غاية التان:

تنطبق نفس القاعدة على التان: lim [tan(x)] / x حيث x → 0 = 1

ماذا إذا كانت الزاوية ناقصة؟

إذا كانت الزاوية مثل:
lim [sin(3x)] / x

هنا المقام لا يساوي الزاوية، نحتاج إلى “معالجة”:

طريقة المعالجة:

نضيف الرقم الناقص للمقام ونعوض بمقلوبه في البسط.

مثال: lim [sin(3x)] / x
نضيف 3 للمقام ونضرب البسط في 1/3
تصبح:
(1/3) * lim [sin(3x)] / 3x = (1/3) * 1 = 1/3

تجزئة الغايات المثلثية المركبة

إذا كانت الغاية تربيع مثل:

lim [(sin(x))^2] / x²

نفكها: = lim [sin(x)/x] * lim [sin(x)/x] = 1 * 1 = 1

إذا كانت الدالة مركبة مثل: lim [sin(3x)]² / x²
نضيف 3 للمقام ونعوض 1/3 في البسط مرتين:
(3/1)² = 9
→ الناتج النهائي = 1

الملاحظة الذهبية: التوزيع

متى يمكن توزيع lim؟

1. الجمع والطرح:
   lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
2. القسمة:
   lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)

مثال تطبيقي مهم – من الكتاب:

lim [(1 – √cos(2x)) / x²]
لحل هذا النوع، نستخدم المرافق:

نضرب البسط والمقام بـ (1 + √cos(2x))
ثم نستخدم العلاقة:
1 – cos(2x) = 2 sin²(x)

ونقسم على x²
ثم نفك sin²(x) إلى sin(x)/x * sin(x)/x
كل منها يساوي 1
→ الناتج النهائي: 1

أمثلة متقدمة:

lim [(tan(3x) + tan(4x)) / sin(5x)]

نقسم كل حد على x، ثم نستخدم قاعدة:
lim [tan(ax)/x] = a
lim [sin(bx)/x] = b

نضيف الأرقام الناقصة ونقسم عليها بالمقلوب.

النتيجة:
= (3 + 4) / 5 = 7/5

مثال باستخدام علاقات التضعيف:

lim [(1 – cos(6x)) / sin²(x)]

نستخدم العلاقة:
1 – cos(θ) = 2 sin²(θ/2)

فيكون:
= lim [2 sin²(3x)] / sin²(x)

نقسم على x² ثم نفك sin²
= 2 * (3/1)² = 2 * 9 = 18

خاتمة:

تم في هذا الدرس شرح:

• خطوات التعامل مع غاية الدالة المطلقة.
• القواعد الخاصة بغاية الدوال المثلثية.
• كيف نعالج الحالات غير الجاهزة.
• أمثلة تطبيقية مباشرة من الكتاب.
• استخدام المرافق وتوزيع الغايات.

في الدرس القادم ننتقل إلى موضوع الاستمرارية لنكمل الفصل الخامس بإذن الله.

مع تحيات الأستاذ مؤمل مهدي.