حل المعادلات اللوغاريتمية واللوغاريتمات العشرية والطبيعية – الصف الخامس العلمي

مقدمة الدرس

في هذه المحاضرة نختم الفصل الأول من مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي، والذي يتناول موضوع اللوغاريتمات. نكمل في هذه الحلقة باقي أسئلة حل المعادلات اللوغاريتمية، كما نأخذ اللوغاريتمات العشرية والطبيعية، وبذلك نغطي كامل الفصل خلال أربع محاضرات فقط.

هدفنا من هذه السلسلة هو الوصول إلى الإعفاء الكامل في الرياضيات من خلال الشرح المبسط والتدريجي لجميع الأمثلة والتمارين.

أولاً: خاصية تساوي اللوغاريتمات

عندما يكون لدينا معادلة فيها لوغاريتمات متساوية في الطرفين ولها نفس الأساس، يمكننا إلغاء اللوغاريتمات والاحتفاظ بالأعداد فقط:

إذا كان:

$$\log_b A = \log_b B \Rightarrow A = B$$

هذه الخاصية نستخدمها كثيرًا أثناء حل المعادلات.

ثانياً: خصائص اللوغاريتمات المستخدمة في الحل

1. الجمع يتحول إلى ضرب:

   $$\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)$$

2. الطرح يتحول إلى قسمة:

   $$\log_b A – \log_b B = \log_b \left(\frac{A}{B}\right)$$

3. الأس يصعد إلى الأمام:

   $$\log_b A^n = n \cdot \log_b A$$

ثالثاً: أمثلة محلولة على حل المعادلات

🧮 المثال الأول:

$$\log (2x – 1) + \log (x + 4) = \log 5$$

الحل:

• نحول الجمع إلى ضرب:

  $$\log \left[(2x – 1)(x + 4)\right] = \log 5$$

• نلغي اللوغاريتمات:

  $$(2x – 1)(x + 4) = 5$$

• نوزع ونحل المعادلة التربيعية، ثم نجرب القيم ونقوم بعملية التحقق.

🧮 المثال الثاني:

$$\log_2 \left(\frac{3x + 5}{x – 5}\right) = 3$$

الحل:

• نرفع الأساس:

  $$\frac{3x + 5}{x – 5} = 2^3 = 8$$

• نضرب طرفين في وسطين ونحل المعادلة:

  $$3x + 5 = 8(x – 5) \Rightarrow x = 5$$

• نقوم بعملية التحقق: نعوض الناتج ونتأكد أنه يحقق المعادلة الأصلية.

🧮 المثال الثالث (تطبيق كامل على خواص اللوغاريتم):

$$\log_e \left(\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{66} \div \frac{132}{121} \cdot 12\right) = x$$

• نبسط الكسور باستخدام خاصية الضرب والقسمة.
• نختصر الأرقام ونحول الكسر الناتج إلى رقم بسيط.
• إذا حصلنا على:

  $$\log_e 1 = x \Rightarrow x = 0 \quad \text{(لأن log لأي عدد للأساس نفسه = 1 فقط إذا العدد = الأساس)}$$

رابعاً: اللوغاريتم العشري

اللوغاريتم العشري هو اللوغاريتم الذي أساسه 10 ويكتب بدون أساس أحيانًا:

$$\log_{10} x = \log x$$

🧠 ملاحظة مهمة:

\log_{10} 10 = 1 ]

\log_{10} 100000 = \log 10^5 = 5 \cdot \log 10 = 5 \cdot 1 = 5 ]

خامساً: قاعدة تبديل الأساس

\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} ]

تُستخدم هذه القاعدة لتغيير الأساس إلى أي عدد نريده (غالبًا 10 أو e). مفيدة في حل المعادلات أو تبسيط تعبيرات.

🧮 تطبيق مهم:

$$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$$

سادساً: اللوغاريتم الطبيعي (ln)

اللوغاريتم الطبيعي هو لوغاريتم للأساس e، حيث:

$$e ≈ 2.718$$

ويكتب بهذا الشكل:

$$\ln x = \log_e x$$

✳️ خواص ln:

\ln e = 1 ] 2. $\ln 1 = 0$ 3. $\ln (a \cdot b) = \ln a + \ln b$ 4. $\ln \left(\frac{a}{b}\right) = \ln a – \ln b$ 5. $\ln (x^n) = n \cdot \ln x$

سابعاً: حل المعادلات الأسية باستخدام ln

لحل معادلة على شكل:

$$a^x = b$$

نأخذ ln للطرفين:

$$\ln a^x = \ln b$$

\Rightarrow x \cdot \ln a = \ln b \Rightarrow x = \frac{\ln b}{\ln a} ]

🧮 مثال:

$$3^x = 26 \Rightarrow x = \frac{\ln 26}{\ln 3}$$

ثامناً: أمثلة إضافية مهمة

✏️ إثبات أن:

$$\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$$

الحل باستخدام قاعدة تبديل الأساس، نقوم بتوزيع اللوغاريتم وتبسيطه.

✏️ إثبات أن:

$$\frac{1}{\log_{abc} a} + \frac{1}{\log_{abc} b} + \frac{1}{\log_{abc} c} = 1$$

يتم ذلك باستخدام خاصية تبديل الأساس وتوحيد المقامات وتحويل الجمع إلى ضرب.

تاسعاً: ملاحظات مهمة للامتحانات الشهرية

• تأكد من إجراء التحقق عندما تكون هناك قيمتين لـ x.
• راجع جيدًا قاعدة تبديل الأساس وخواص اللوغاريتمات.
• في حال كانت هناك قيمة مرفوعة إلى قوة، استخدم ln للطرفين.
• في اللوغاريتمات الطبيعية، تذكر أن:
  • $\ln e = 1$
  • $\ln 1 = 0$

خاتمة

بهذا نكون قد أنهينا الفصل الأول بالكامل في 4 محاضرات فقط، وشرحنا جميع الأفكار المهمة المتعلقة باللوغاريتمات، بما فيها:

• حل المعادلات اللوغاريتمية
• اللوغاريتم العشري
• اللوغاريتم الطبيعي (ln)
• تبديل الأساس
• استخدام الخصائص المختلفة في التبسيط والحل

انتهى الفصل الأول، ونتجه الآن للفصل الثاني. استعدوا لمزيد من “التهكير” والتفليش في مادة الرياضيات.