الاستمرارية في الدوال – مادة الرياضيات للصف الخامس العلمي

في هذه المحاضرة التعليمية سنختتم مادة الفصل الخامس من الكورس الأول، ونبدأ موضوع “الاستمرارية”، وهو الموضوع الأخير في هذا الفصل والذي يعد مهمًا جدًا لكونه يُبنى عليه العديد من المفاهيم في السادس العلمي لاحقًا.

أولاً: ما معنى أن تكون الدالة مستمرة؟

الدالة المستمرة هي الدالة التي لا يحدث فيها انقطاع أو قفز أو كسر عند نقطة معينة أو ضمن فترة معينة. بعبارة أخرى، هي الدالة التي يمكن رسمها دون رفع القلم عن الورقة.

تعريف الاستمرارية:

لكي نقول إن الدالة $f(x)$ مستمرة عند نقطة $x = a$، يجب أن يتحقق الشرط التالي:

الصورة = الغاية

أي أن:

$$f(a) = \lim_{x \to a} f(x)$$

ثانيًا: أنواع الدوال التي نطبق عليها الاستمرارية

1. الدوال كثيرة الحدود
2. الدوال الكسرية
3. الدوال الجذرية
4. الدوال المطلقة
5. الدوال الشطرية

ثالثًا: خطوات إثبات استمرارية الدالة

1. احسب الصورة: $f(a)$
2. احسب الغاية: $\lim_{x \to a} f(x)$
3. قارن النتيجتين: إذا كانتا متساويتين، تكون الدالة مستمرة عند $x = a$.

رابعًا: تطبيقات على أنواع الدوال

1. دالة كثيرة الحدود

مثال: $f(x) = 8 – x^3 – 2x^2$

المطلوب: إثبات أن الدالة مستمرة عند أي $x \in \mathbb{R}$

• الصورة: نفرض $x = a$، إذًا $f(a) = 8 – a^3 – 2a^2$
• الغاية: $\lim_{x \to a} (8 – x^3 – 2x^2) = 8 – a^3 – 2a^2$
• النتيجة: $f(a) = \lim f(x)$ ⇒ الدالة مستمرة على $\mathbb{R}$

2. دالة جذرية

مثال: $f(x) = \sqrt{1 – x^2}$

المطلوب: إثبات الاستمرارية على الفترة $[-1, 1]$

• نختبر الاستمرارية عند $x = -1, 0, 1$
• عند $x = 0$: $f(0) = \sqrt{1 – 0} = 1$
• عند $x = -1$: $f(-1) = \sqrt{1 – (-1)^2} = \sqrt{0} = 0$
• عند $x = 1$: $f(1) = \sqrt{1 – 1} = 0$
• الدالة مستمرة على الفترة المذكورة لأن الغاية = الصورة في كل الحالات.

3. دالة كسرية

مثال: $f(x) = \frac{x}{x^2 – 9}$

المطلوب: فحص الاستمرارية عند:

• $x = 3$: المقام = صفر ⇒ غير مستمرة
• $x = -3$: أيضًا غير مستمرة
• $x = 1$: نحسب:

$$f(1) = \frac{1}{1 – 9} = \frac{1}{-8},\quad \lim_{x \to 1} f(x) = \frac{1}{-8}$$

⇒ الدالة مستمرة عند $x = 1$ فقط.

4. دالة مطلقة

مثال: $f(x) = |x – 3|$

الخطوة الأولى: تحويلها إلى دالة شطرية:

$$f(x) = \begin{cases} x – 3 & \text{إذا } x \geq 3 \\ -(x – 3) & \text{إذا } x < 3 \end{cases}$$

نثبت الاستمرارية عند $x = 3$ بثلاث حالات:

• الصورة: $f(3) = 0$
• الغاية من اليمين: $\lim_{x \to 3^+} (x – 3) = 0$
• الغاية من اليسار: $\lim_{x \to 3^-} (-(x – 3)) = 0$

⇒ الدالة مستمرة عند $x = 3$

5. دالة شطرية

مثال:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & x \geq 2 \\ 8 – x & x < 2 \end{cases}$$

الخطوات:

• الصورة: $f(2) = 2^2 + 2(2) = 4 + 4 = 8$
• الغاية من اليمين: $\lim_{x \to 2^+} = 4 + 4 = 8$
• الغاية من اليسار: $\lim_{x \to 2^-} = 8 – 2 = 6$

النتيجة: الصورة ≠ الغاية ⇒ الدالة غير مستمرة عند $x = 2$

خامسًا: ملاحظات مهمة جدًا

1. إذا أعطاك السؤال نقطة (مثل $x = 2$) فقم بالتعويض مباشرة بالصورة والغايه.
2. إذا لم يعطك قيمة، افترض حرف مثل $a$ أو $b$.
3. في الدوال الكسرية، إذا كان المقام صفر → الدالة غير مستمرة.
4. في الدوال الشطرية يجب حساب الغاية من اليمين واليسار.
5. لكي تكون الدالة مستمرة عند حد فاصل، يجب:
   • الصورة = الغاية من اليمين = الغاية من اليسار

سادسًا: سؤال مهم على الحروف والثوابت

إذا كانت الدالة التالية مستمرة عند $x = 1$:

$$f(x) = \begin{cases} 2x + b & x < 1 \\ a x + 7 & x \geq 1 \end{cases}$$

المطلوب: أوجد قيمتي $a$ و $b$

• من الاستمرارية: $\lim_{x \to 1^-} = \lim_{x \to 1^+}$
• من اليسار: $2(1) + b = 2 + b$
• من اليمين: $a(1) + 7 = a + 7$

⇒ $2 + b = a + 7 \Rightarrow a = b – 5$

إذا أعطانا شرط إضافي مثل: $f(0) = 5$، نعوض في $x < 1$:

$$f(0) = 2(0) + b = 5 \Rightarrow b = 5, \quad a = 0$$

سابعًا: واجب تطبيقي

أثبت أن الدالة التالية مستمرة على $\mathbb{R}$:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 – 4x + 5 & x \geq 1 \\ x + 1 & x < 1 \end{cases}$$

نصيحة: اتبع الخطوات الثلاث في الدالة الشطرية لحلها: الصورة – الغاية من اليمين – الغاية من اليسار.

خاتمة الدرس

بذلك نكون قد أنهينا موضوع “الاستمرارية” من الفصل الخامس، ومعه نكون قد أتممنا مادة الكورس الأول بالكامل. نرجو منكم متابعة الحل والتمارين بتركيز، لأن هذا الفصل يعتبر مدخلًا مهمًا للفصل الثالث في السادس العلمي، وخاصة في موضوع “مبرهنة رول”. بالتوفيق لكم جميعًا، وإلى اللقاء في الكورس الثاني إن شاء الله.