مسائل الاتزان والعزوم – محاضرة شاملة محلولة

في هذه المحاضرة، نستعرض مسائل الاتزان والعزوم، والتي تعتبر من أصعب مواضيع الفصل الرابع – فيزياء الخامس العلمي. نركّز على شرح مفصل لمسألتين رئيسيتين تتطلبان فهماً دقيقاً لمفهوم الاتزان، تطبيق قوانين نيوتن، حساب العزوم، واستعمال مبدأ تشابه المثلثات لإيجاد المجاهيل الهندسية.

المثال الأول – إيجاد أصغر زاوية تمنع انزلاق سلم

المعطيات:

• سلم منتظم طوله $L$، كتلته $m$، ويستند على جدار أملس.
• معامل الاحتكاك السكوني بين السلم والأرض هو $\mu_s$.
• المطلوب: إيجاد أصغر زاوية $\theta$ يمكن أن يوضع بها السلم على الأرض بدون أن ينزلق.

الحل:

الخطوة الأولى: تحليل القوى (الحالة A)

• نأخذ حالتي الاتزان الخطي (القوى):
  • محور Y (رأسي):
    القوة العمودية $N$ = وزن السلم $mg$

    معادلة (1): $N = mg$

  • محور X (أفقي):
    قوة الاحتكاك $f_s = \mu_s N$، تساوي رد فعل الجدار $B$

    معادلة (2): $B = \mu_s N$
    بعد التعويض من (1):
    $B = \mu_s mg$

الخطوة الثانية: الاتزان الدوراني (الحالة B)

نأخذ نقطة الدوران عند قاعدة السلم ونكتب العزوم:

• عزم قوة رد الجدار (B):
  $B \cdot L \cdot \sin\theta$
• عزم الوزن (mg):
  الوزن يؤثر في منتصف السلم (عند $\frac{L}{2}$)، وذراعه هو:
  $\frac{L}{2} \cdot \cos\theta$
  فيكون العزم:
  $mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos\theta$

المعادلة: $B \cdot L \cdot \sin\theta = mg \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos\theta$

نختصر $L$ من الطرفين: $B \cdot \sin\theta = \frac{mg}{2} \cdot \cos\theta$

نعوض $B = \mu_s mg$: $\mu_s mg \cdot \sin\theta = \frac{mg}{2} \cdot \cos\theta$

نقسم الطرفين على $mg$: $\mu_s \cdot \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot \cos\theta$

نقسم الطرفين على $\cos\theta$: $\mu_s \cdot \tan\theta = \frac{1}{2}$

إذن: $\tan\theta = \frac{1}{2\mu_s}$

نعوّض $\mu_s = \frac{5}{a}$ (من المعطى $\tan\theta = \frac{5}{a}$): $\tan\theta = \frac{5}{a} \Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5}{a}\right)$

الإجابة: أصغر زاوية تمنع الانزلاق هي $\theta = 51^\circ$

المثال الثاني – حساب قوة الاحتكاك بين الأرض والسلم

المعطيات:

• صبّاغ يقف على ارتفاع $3$ متر من الأرض.
• طول السلم $5$ متر، يبعد قاعدته عن الجدار بمقدار $4.7$ متر.
• وزن الصباغ $680$ نيوتن.
• وزن السلم $120$ نيوتن.
• مطلوب: إيجاد قوة الاحتكاك $f_s$ بين الأرض والطرف السفلي للسلم.

الرسم التحليلي:

• نحدد ثلاث قوى مؤثرة:
  1. وزن السلم في منتصفه (مسافة 2.5 متر من القاعدة).
  2. وزن الصباغ على مسافة عمودية 3 متر.
  3. قوة الاحتكاك في قاعدة السلم.

الخطوة الأولى: القوى الأفقية

من قانون الاتزان الخطي على المحور الأفقي: $B = f_s$
(رد فعل الجدار يساوي قوة الاحتكاك)

الخطوة الثانية: العزوم

نأخذ العزم حول النقطة التي يلامس فيها السلم الأرض (لإلغاء $f_s$ و $N$ من المعادلة):

• العزم الناتج عن B:
  $B \cdot 4.7$
• العزم الناتج عن الصباغ:
  نستخدم تشابه المثلثات لإيجاد الذراع الأفقية لموضع الصباغ:
  • الارتفاع الصغير: 3 متر
  • الارتفاع الكبير: 4.7 متر
  • القاعدة الكبرى: 1.7 متر
    ⇒ الذراع = 1.1 متر
• العزم الناتج عن وزن السلم: الذراع = 0.85 متر (حسب تشابه مثلثات أيضًا)

المعادلة: $B \cdot 4.7 = 680 \cdot 1.1 + 120 \cdot 0.85$

نحسب القيم:

• $680 \cdot 1.1 = 748$
• $120 \cdot 0.85 = 102$
• $748 + 102 = 850$

$B = \frac{850}{4.7} \approx 180.8 \Rightarrow B \approx 180 \text{ نيوتن}$

وبما أن $B = f_s$، إذن: قوة الاحتكاك $f_s = 180$ نيوتن

التعريفات المهمة

• العزم (Torque): حاصل ضرب القوة في ذراعها بالنسبة إلى محور الدوران.
• ذراع القوة: المسافة العمودية من محور الدوران إلى خط تأثير القوة.
• الاحتكاك السكوني $f_s$: أقصى قوة تمنع الانزلاق، وتساوي $\mu_s N$.
• الزاوية الحرجة للسلم: أقل زاوية يميل بها السلم دون أن ينزلق.
• تشابه المثلثات: يستخدم لاستخراج الأطوال غير المعروفة باستخدام نسب متساوية بين مثلثين متشابهين.

خلاصة الحلول:

• طبّقنا حالتين من الاتزان (الخطي والدوراني).
• استخرجنا الزوايا باستخدام قوانين المثلثات.
• استخدمنا مبدأ تشابه المثلثات لاستخراج الأذرع المجهولة.
• أجبنا عن مسألتين من أصعب مسائل الفصل بطرق مفصلة ومبسطة.