تحليل المتجهات إلى مركبتين وإيجاد المحصلة – فيزياء الخامس العلمي

مقدمة

في الفيزياء، المتجهات لا تُدرس فقط من حيث اتجاهها ومقدارها، بل نحتاج غالبًا إلى تحليلها إلى مركبتين: أفقية (X) وشاقولية (Y)، خاصة عند التعامل مع الزوايا والمسائل الهندسية. يُساعد هذا التحليل في تبسيط المعادلات الفيزيائية وإيجاد المحصلة بسهولة عند وجود أكثر من متجه.

أولًا: التحليل إلى مركبتين

تعريف:

تحليل المتجه هو تفكيكه إلى مركبتين:

• أفقية (Ax أو Ex) تقع على محور X
• شاقولية (Ay أو Ey) تقع على محور Y

يُستخدم هذا التحليل عندما يميل المتجه بزاوية θ مع أحد المحاور.

خطوات التحليل:

إذا كان لدينا متجه $A$ يميل بزاوية $\theta$ مع المحور X، فإن:

• المركبة الأفقية:

  $$A_x = A \cdot \cos(\theta)$$

• المركبة الشاقولية:

  $$A_y = A \cdot \sin(\theta)$$

📌 ملاحظة مهمة:
إذا كانت الزاوية مع محور Y، فإن:

• $A_x = A \cdot \sin(\theta)$
• $A_y = A \cdot \cos(\theta)$

مثال تطبيقي:

المعطيات:

• متجه $A = 175 \, \text{cm}$
• زاوية الميل $\theta = 50^\circ$ مع محور X

المطلوب: إيجاد $A_x$ و $A_y$

الحل:

$$A_x = 175 \cdot \cos(50^\circ) \approx 175 \cdot 0.643 = 112.525 \, \text{cm}$$ $$A_y = 175 \cdot \sin(50^\circ) \approx 175 \cdot 0.766 = 134.050 \, \text{cm}$$

ثانيًا: القوانين المرتبطة بالتحليل

1. قانون الجيب (Sine)

$$\sin(\theta) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{A_y}{A} \Rightarrow A_y = A \cdot \sin(\theta)$$

2. قانون جيب التمام (Cosine)

$$\cos(\theta) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{A_x}{A} \Rightarrow A_x = A \cdot \cos(\theta)$$

3. قانون الظل (Tangent)

$$\tan(\theta) = \frac{A_y}{A_x} \Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left( \frac{A_y}{A_x} \right)$$

4. قانون فيثاغورس لإيجاد طول المتجه (المحصلة)

$$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$$

ثالثًا: جمع المتجهات وإيجاد المحصلة

عند وجود أكثر من متجه (مثل المتجهين A وB)، فإننا:

1. نحلل كل متجه إلى مركبتين:
   • $A_x, A_y$
   • $B_x, B_y$
2. نجمع المركبات الأفقية لإيجاد:

   $$R_x = A_x + B_x$$

3. نجمع المركبات الشاقولية لإيجاد:

   $$R_y = A_y + B_y$$

4. نحسب مقدار المتجه المحصل باستخدام فيثاغورس:

   $$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$$

5. نحسب اتجاه المتجه المحصل:

   $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)$$

مثال تطبيقي على جمع المتجهات

المعطيات:

• $A = 14 \, \text{cm}, \theta_A = 60^\circ$
• $B = 20 \, \text{cm}, \theta_B = 20^\circ$

الخطوات:

1. تحليل المتجه A:

• $A_x = 14 \cdot \cos(60^\circ) = 14 \cdot 0.5 = 7 \, \text{cm}$
• $A_y = 14 \cdot \sin(60^\circ) \approx 14 \cdot 0.866 = 12.124 \, \text{cm}$

2. تحليل المتجه B:

• $B_x = 20 \cdot \cos(20^\circ) \approx 20 \cdot 0.94 = 18.8 \, \text{cm}$
• $B_y = 20 \cdot \sin(20^\circ) \approx 20 \cdot 0.342 = 6.84 \, \text{cm}$

3. جمع المركبات:

• $R_x = A_x + B_x = 7 + 18.8 = 25.8 \, \text{cm}$
• $R_y = A_y + B_y = 12.124 + 6.84 = 18.964 \, \text{cm}$

4. مقدار المحصلة:

$$R = \sqrt{(25.8)^2 + (18.964)^2} \approx \sqrt{665.64 + 359.61} = \sqrt{1025.25} \approx 32 \, \text{cm}$$

5. اتجاه المحصلة:

$$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{18.964}{25.8} \right) \approx \tan^{-1}(0.735) \approx 36^\circ$$

خلاصة القوانين المهمة:

نصيحة للطلبة 💡

لحل أي سؤال من هذا النوع:

1. احفظ القوانين الأربعة (جيب، جيب التمام، الظل، فيثاغورس)
2. حوّل أي متجه إلى مركبتيه (أفقي + شاقولي)
3. اجمع المركبات لكل من X وY
4. استخدم فيثاغورس لحساب المحصلة
5. استخدم الظل العكسي لإيجاد الزاوية