تحليل المتجهات إلى مركبتين وإيجاد المحصلة – فيزياء الخامس العلمي

 

مقدمة

في الفيزياء، المتجهات لا تُدرس فقط من حيث اتجاهها ومقدارها، بل نحتاج غالبًا إلى تحليلها إلى مركبتين: أفقية (X) وشاقولية (Y)، خاصة عند التعامل مع الزوايا والمسائل الهندسية. يُساعد هذا التحليل في تبسيط المعادلات الفيزيائية وإيجاد المحصلة بسهولة عند وجود أكثر من متجه.

أولًا: التحليل إلى مركبتين

تعريف:

تحليل المتجه هو تفكيكه إلى مركبتين:

  • أفقية (Ax أو Ex) تقع على محور X
  • شاقولية (Ay أو Ey) تقع على محور Y

يُستخدم هذا التحليل عندما يميل المتجه بزاوية θ مع أحد المحاور.

خطوات التحليل:

إذا كان لدينا متجه AA يميل بزاوية θ\theta مع المحور X، فإن:

  • المركبة الأفقية:

    Ax=A⋅cos⁡(θ)A_x = A \cdot \cos(\theta)

  • المركبة الشاقولية:

    Ay=A⋅sin⁡(θ)A_y = A \cdot \sin(\theta)

📌 ملاحظة مهمة:
إذا كانت الزاوية مع محور Y، فإن:

  • Ax=A⋅sin⁡(θ)A_x = A \cdot \sin(\theta)
  • Ay=A⋅cos⁡(θ)A_y = A \cdot \cos(\theta)

مثال تطبيقي:

المعطيات:

  • متجه A=175 cmA = 175 \, \text{cm}
  • زاوية الميل θ=50∘\theta = 50^\circ مع محور X

المطلوب: إيجاد AxA_x و AyA_y

الحل:

Ax=175⋅cos⁡(50∘)≈175⋅0.643=112.525 cmA_x = 175 \cdot \cos(50^\circ) \approx 175 \cdot 0.643 = 112.525 \, \text{cm} Ay=175⋅sin⁡(50∘)≈175⋅0.766=134.050 cmA_y = 175 \cdot \sin(50^\circ) \approx 175 \cdot 0.766 = 134.050 \, \text{cm}

ثانيًا: القوانين المرتبطة بالتحليل

1. قانون الجيب (Sine)

sin⁡(θ)=المقابلالوتر=AyA⇒Ay=A⋅sin⁡(θ)\sin(\theta) = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} = \frac{A_y}{A} \Rightarrow A_y = A \cdot \sin(\theta)

2. قانون جيب التمام (Cosine)

cos⁡(θ)=المجاورالوتر=AxA⇒Ax=A⋅cos⁡(θ)\cos(\theta) = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}} = \frac{A_x}{A} \Rightarrow A_x = A \cdot \cos(\theta)

3. قانون الظل (Tangent)

tan⁡(θ)=AyAx⇒θ=tan⁡−1(AyAx)\tan(\theta) = \frac{A_y}{A_x} \Rightarrow \theta = \tan^{-1}\left( \frac{A_y}{A_x} \right)

4. قانون فيثاغورس لإيجاد طول المتجه (المحصلة)

A=Ax2+Ay2A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}

ثالثًا: جمع المتجهات وإيجاد المحصلة

عند وجود أكثر من متجه (مثل المتجهين A وB)، فإننا:

  1. نحلل كل متجه إلى مركبتين:
    • Ax,AyA_x, A_y
    • Bx,ByB_x, B_y
  2. نجمع المركبات الأفقية لإيجاد:

    Rx=Ax+BxR_x = A_x + B_x

  3. نجمع المركبات الشاقولية لإيجاد:

    Ry=Ay+ByR_y = A_y + B_y

  4. نحسب مقدار المتجه المحصل باستخدام فيثاغورس:

    R=Rx2+Ry2R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}

  5. نحسب اتجاه المتجه المحصل:

    θ=tan⁡−1(RyRx)\theta = \tan^{-1} \left( \frac{R_y}{R_x} \right)

مثال تطبيقي على جمع المتجهات

المعطيات:

  • A=14 cm,θA=60∘A = 14 \, \text{cm}, \theta_A = 60^\circ
  • B=20 cm,θB=20∘B = 20 \, \text{cm}, \theta_B = 20^\circ

الخطوات:

1. تحليل المتجه A:

  • Ax=14⋅cos⁡(60∘)=14⋅0.5=7 cmA_x = 14 \cdot \cos(60^\circ) = 14 \cdot 0.5 = 7 \, \text{cm}
  • Ay=14⋅sin⁡(60∘)≈14⋅0.866=12.124 cmA_y = 14 \cdot \sin(60^\circ) \approx 14 \cdot 0.866 = 12.124 \, \text{cm}

2. تحليل المتجه B:

  • Bx=20⋅cos⁡(20∘)≈20⋅0.94=18.8 cmB_x = 20 \cdot \cos(20^\circ) \approx 20 \cdot 0.94 = 18.8 \, \text{cm}
  • By=20⋅sin⁡(20∘)≈20⋅0.342=6.84 cmB_y = 20 \cdot \sin(20^\circ) \approx 20 \cdot 0.342 = 6.84 \, \text{cm}

3. جمع المركبات:

  • Rx=Ax+Bx=7+18.8=25.8 cmR_x = A_x + B_x = 7 + 18.8 = 25.8 \, \text{cm}
  • Ry=Ay+By=12.124+6.84=18.964 cmR_y = A_y + B_y = 12.124 + 6.84 = 18.964 \, \text{cm}

4. مقدار المحصلة:

R=(25.8)2+(18.964)2≈665.64+359.61=1025.25≈32 cmR = \sqrt{(25.8)^2 + (18.964)^2} \approx \sqrt{665.64 + 359.61} = \sqrt{1025.25} \approx 32 \, \text{cm}

5. اتجاه المحصلة:

θ=tan⁡−1(18.96425.8)≈tan⁡−1(0.735)≈36∘\theta = \tan^{-1} \left( \frac{18.964}{25.8} \right) \approx \tan^{-1}(0.735) \approx 36^\circ

خلاصة القوانين المهمة:

القانون الصيغة الاستخدام
تحليل A إلى Ax Ax=A⋅cos⁡(θ)A_x = A \cdot \cos(\theta) إيجاد المركبة الأفقية
تحليل A إلى Ay Ay=A⋅sin⁡(θ)A_y = A \cdot \sin(\theta) إيجاد المركبة الشاقولية
فيثاغورس للمحصلة R=Rx2+Ry2R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} إيجاد مقدار المحصلة
زاوية المحصلة θ=tan⁡−1(Ry/Rx)\theta = \tan^{-1}(R_y / R_x) إيجاد اتجاه المحصلة

نصيحة للطلبة 💡

لحل أي سؤال من هذا النوع:

  1. احفظ القوانين الأربعة (جيب، جيب التمام، الظل، فيثاغورس)
  2. حوّل أي متجه إلى مركبتيه (أفقي + شاقولي)
  3. اجمع المركبات لكل من X وY
  4. استخدم فيثاغورس لحساب المحصلة
  5. استخدم الظل العكسي لإيجاد الزاوية
المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي