الاعداد المركبة / محاضرة 1

1. مقدمة إلى الأعداد المركبة

في الرياضيات، الأعداد المركبة هي امتداد للأعداد الحقيقية، حيث أدخلت لحل المعادلات التي لا تملك حلولًا في مجموعة الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، المعادلة:

$$x^2 + 1 = 0$$

ليس لها حل حقيقي، لأن أي عدد حقيقي مربعه يكون غير سالب، وبالتالي لا يمكن أن يكون هناك عدد حقيقي يحقق

$x^2 = -1$

x2=−1. لذلك، تم تعريف الوحدة التخيلية

$i$

i بحيث:

$$i^2 = -1$$

وباستخدام هذه الوحدة التخيلية، يمكننا تعريف الأعداد المركبة.

2. تعريف العدد المركب

العدد المركب هو عدد يتكون من جزأين:

• جزء حقيقي
  $a$ 

  $a$

• جزء تخيلي
  $bi$ 

  $bi$

ويُكتب على الشكل:

$$z = a + bi$$

حيث:

• 
  $a, b$ 

  $a,b$ عددان حقيقيان.

• 
  $i$ 

  $i$ هو الوحدة التخيلية حيث $i^2 = -1$ 

أمثلة على الأعداد المركبة:

1. 
   $3 + 4i$ 
2. 
   $-2 + 5i$ 
3. 
   $7 – i$ 
4. 
   $0 + 2i$ 

   (عدد تخيلي صرف)

5. 
   $5 + 0i$ 

   (عدد حقيقي صرف)

3. العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

3.1. الجمع والطرح

عند جمع أو طرح عددين مركبين، نجمع أو نطرح الأجزاء الحقيقية مع بعضها والتخيلية مع بعضها.

• جمع عددين مركبين:

   

  $$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$ 

• طرح عددين مركبين:

   

  $$(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i$$ 

مثال:
إذا كان

$z_1 = 3 + 4i$

و

$z_2 = 1 – 2i$

، فإن:

$$z_1 + z_2 = (3+1) + (4-2)i = 4 + 2i$$

$$z_1 – z_2 = (3-1) + (4+2)i = 2 + 6i$$

3.2. الضرب في عدد مركب

يتم ضرب عددين مركبين باستخدام خاصية توزيع الضرب:

$$(a + bi) \cdot (c + di) = ac + adi + bci + bdi^2$$

(a+bi)⋅(c+di)=ac+adi+bci+bdi2

وبما أن

$i^2 = -1$

، فإن:

$$(a + bi) (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i$$

(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i

مثال:
إذا كان

$z_1 = 2 + 3i$

و

$z_2 = 1 – i$

، فإن:

$$(2 + 3i) (1 – i) = 2 – 2i + 3i – 3i^2$$

$$= 2 – 2i + 3i + 3 = 5 + i$$

3.3. القسمة على عدد مركب

لحساب قسمة عدد مركب على آخر، نضرب البسط والمقام بالمرافق للمقام.

مرافق العدد المركب

$z = a + bi$

هو:

$$\bar{z} = a – bi$$

قاعدة القسمة:

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)}$$

$$= \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2}$$

مثال:
احسب:

$$\frac{3 + 2i}{1 – i}$$

نضرب في المرافق

$1 + i$

$$\frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}$$

$$= \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1 – i^2}$$

وبما أن

$i^2 = -1$

$$= \frac{3 + 3i + 2i – 2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2}$$

$$= \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$$

=21​+25​i

4. تمثيل الأعداد المركبة في المستوى الإحداثي

يتم تمثيل العدد المركب

$z = a + bi$

z=a+bi على المستوى الإحداثي حيث:

• المحور الأفقي يمثل الجزء الحقيقي.
• المحور العمودي يمثل الجزء التخيلي.

مثال:
العدد

$3 + 4i$

يتم تمثيله بالنقطة

$(3,4)$

(3,4).

5. الشكل القطبي للعدد المركب

يمكن كتابة العدد المركب بالشكل القطبي باستخدام المقياس

$r$

r والزاوية

$\theta$

θ:

$$z = r (\cos \theta + i \sin \theta)$$

حيث:

• المقياس (المقدار):

   

  $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$​

• الزاوية (السعة أو المرافقة):

   

  $$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right)$$ 

مثال:
إذا كان:

$$z = 1 + \sqrt{3} i$$

فإن:

$$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$

و

$$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$

إذن الشكل القطبي هو:

$$z = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)$$

6. نظرية دي موافر

نظرية دي موافر تستخدم لرفع العدد المركب إلى قوة صحيحة:

$$(z^n) = r^n (\cos (n\theta) + i \sin (n\theta))$$

مثال:
إذا كان:

$$z = 2 (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)$$

فإن:

$$z^3 = 2^3 (\cos 90^\circ + i \sin 90^\circ) = 8i$$

7. الجذور النونية للعدد المركب

لحساب الجذور النونية:

$$z_k = r^{\frac{1}{n}} \left[ \cos \frac{\theta + 2\pi k}{n} + i \sin \frac{\theta + 2\pi k}{n} \right]$$

حيث

$k = 0, 1, 2, …, n-1$

k=0,1,2,…,n−1.