الحجوم الدورانية

تكاملات الحجوم الدورانية

تكاملات الحجوم الدورانية تُستخدم لحساب حجم المجسمات التي تتولد عند دوران منحنى أو منطقة مستوية حول محور معين، وعادةً يكون محور السينات أو محور الصادات. تُعرف هذه الطريقة باسم التكامل بالحجوم الدورانية وهي من التطبيقات المهمة للتكاملات المحددة.

1. الدوران حول محور السينات (طريقة الأقراص والحلقات)

عند دوران منحنى أو منطقة مستوية حول محور $x$، يمكن حساب الحجم باستخدام طريقتين أساسيتين:

1. طريقة الأقراص (Disks Method)
2. طريقة الحلقات (Washers Method)

أولًا: طريقة الأقراص (Disks Method)

تُستخدم عندما يتم تدوير منحنى واحد فقط حول المحور، أي عندما يكون الشكل الناتج مصمتًا بدون فراغ داخلي.

الصيغة الرياضية:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [R(x)]^2 \, dx$$

حيث:

• $R(x)$ هو نصف قطر القرص عند أي نقطة $x$.
• $a$ و $b$ هما حدود التكامل.
• $dx$ يشير إلى سمك كل قرص.

مثال تطبيقي:

إذا كان لدينا المنحنى $y = \sqrt{x}$ ونريد حساب الحجم الناتج عن تدويره حول محور $x$ بين $x = 0$ و $x = 4$، فإن الحجم يُحسب كالتالي:

$$V = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx$$ $$V = \pi \int_{0}^{4} x \, dx$$ $$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4}$$ $$V = \pi \left[ \frac{16}{2} – 0 \right] = 8\pi$$

ثانيًا: طريقة الحلقات (Washers Method)

تُستخدم عندما يكون هناك فراغ داخلي، أي عندما يتم تدوير منطقة محصورة بين منحنيين مختلفين.

الصيغة الرياضية:

$$V = \pi \int_{a}^{b} \left( [R_{\text{خارجي}}(x)]^2 – [R_{\text{داخلي}}(x)]^2 \right) \, dx$$

حيث:

• $R_{\text{خارجي}}(x)$ هو نصف قطر الدائرة الخارجية.
• $R_{\text{داخلي}}(x)$ هو نصف قطر الدائرة الداخلية.
• $dx$ يمثل سمك الشريحة.

مثال تطبيقي:

لو كانت المنطقة المحصورة بين المنحنيين $y = \sqrt{x}$ و $y = \frac{x}{2}$ تدور حول محور $x$ من $x = 0$ إلى $x = 4$، فإن الحجم يُحسب كالتالي:

$$V = \pi \int_{0}^{4} \left( (\sqrt{x})^2 – \left(\frac{x}{2}\right)^2 \right) dx$$ $$V = \pi \int_{0}^{4} \left( x – \frac{x^2}{4} \right) dx$$

ثم يتم حساب التكامل لإيجاد الحجم.

2. الدوران حول محور الصادات (طريقة الأسطوانات)

عند دوران منحنى أو منطقة حول محور $y$، فإننا نستخدم طريقة مختلفة تُعرف باسم طريقة القشور الأسطوانية (Shell Method).

طريقة القشور الأسطوانية (Shell Method)

تعتمد هذه الطريقة على تجزئة الشكل إلى شرائح رأسية تتحول عند الدوران إلى قشور أسطوانية، ويُحسب الحجم بجمع أحجام هذه القشور.

الصيغة الرياضية:

$$V = 2\pi \int_{c}^{d} \left( \text{نصف القطر} \times \text{الارتفاع} \right) dy$$

حيث:

• نصف القطر هو البعد الأفقي للنقطة عن محور الدوران، وهو غالبًا $x$.
• الارتفاع هو قيمة الدالة $f(y)$.
• $dy$ يمثل سمك كل قشرة.

مثال تطبيقي:

إذا كان لدينا المنحنى $x = y^2$ ونريد حساب الحجم الناتج عن تدويره حول محور $y$ بين $y = 0$ و $y = 3$:

$$V = 2\pi \int_{0}^{3} (y \cdot y^2) \, dy$$ $$V = 2\pi \int_{0}^{3} y^3 \, dy$$ $$V = 2\pi \left[ \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{3}$$ $$V = 2\pi \left[ \frac{81}{4} – 0 \right] = \frac{162\pi}{4} = \frac{81\pi}{2}$$

مقارنة بين الطرق المختلفة

الخاتمة

• عند الدوران حول محور $x$، نستخدم طريقة الأقراص إذا كان الجسم مصمتًا، وطريقة الحلقات إذا كان هناك تجويف داخلي.
• عند الدوران حول محور $y$، نستخدم طريقة القشور الأسطوانية لأنها أكثر كفاءة في مثل هذه الحالات.

السؤال  هو:

أوجد الحجم الناتج من دوران المنطقة المحصورة بين محور الصادات ومنحنى الدالة $y = \frac{3}{x}$ حيث $1 \leq y \leq 3$، دورة كاملة حول المحور الصادي.

لحساب الحجم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة حول المحور الصادي، نستخدم طريقة الأقراص الأسطوانية (Shell Method)، لأن التكامل بالنسبة لـ $y$ يكون أسهل.

الخطوات:

1. إيجاد العلاقة بين $x$ و $y$:

لدينا الدالة:

$$y = \frac{3}{x}$$

نحلّها بالنسبة لـ $x$:

$$x = \frac{3}{y}$$

2. حجم الجسم باستخدام طريقة القشور الأسطوانية:

معادلة الحجم بطريقة القشور الأسطوانية هي:

$$V = \int_{a}^{b} 2\pi (\text{نصف القطر}) (\text{الارتفاع}) \, dy$$

حيث:

• نصف القطر = $y$ (لأنه البعد عن محور الدوران وهو المحور الصادي).
• الارتفاع = $x = \frac{3}{y}$.
• حدود التكامل: $y$ يتغير من 1 إلى 3.

3. حساب التكامل:

$$V = \int_{1}^{3} 2\pi y \cdot \frac{3}{y} \, dy$$ $$V = \int_{1}^{3} 2\pi \cdot 3 \, dy$$ $$V = 6\pi \int_{1}^{3} dy$$ $$V = 6\pi [y]_{1}^{3}$$ $$V = 6\pi (3 – 1)$$ $$V = 6\pi \times 2$$ $$V = 12\pi$$

الإجابة النهائية:

$$V = 12\pi \text{ وحدة مكعبة.}$$

السؤال هو:

أوجد الحجم الناتج من دوران المساحة المحددة للقطع المكافئ الذي معادلته $y = 3x^2$ والمستقيمين $x = 0$ و $x = 5$ حول محور السينات.

لحساب الحجم الناتج عن دوران المساحة المحددة حول محور السينات، نستخدم طريقة الأقراص (Disks Method)، لأن الدوران يتم حول محور السينات.

1. تحديد المعطيات:

• المعادلة: $$y = 3x^2$$
• حدود التكامل: $$x = 0 \quad \text{إلى} \quad x = 5$$
• الدوران حول محور السينات يعني أننا نستخدم طريقة الأقراص، حيث نعتبر كل نقطة على المنحنى على شكل قرص دائري صغير.

2. صيغة حجم الدوران باستخدام طريقة الأقراص:

$$V = \int_{a}^{b} \pi \left( \text{نصف القطر} \right)^2 dx$$

حيث:

• نصف القطر = $y = 3x^2$ (لأن القيمة $y$ تمثل بعد المنحنى عن محور السينات).
• حدود التكامل: من $x = 0$ إلى $x = 5$.

3. تطبيق التكامل:

$$V = \int_{0}^{5} \pi (3x^2)^2 dx$$ $$V = \int_{0}^{5} \pi (9x^4) dx$$ $$V = 9\pi \int_{0}^{5} x^4 dx$$

4. حساب التكامل:

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$$

حيث $n = 4$:

$$V = 9\pi \times \frac{x^5}{5} \Bigg|_{0}^{5}$$ $$V = 9\pi \times \left( \frac{5^5}{5} – \frac{0^5}{5} \right)$$ $$V = 9\pi \times \left( \frac{3125}{5} – 0 \right)$$ $$V = 9\pi \times \frac{3125}{5}$$ $$V = 9\pi \times 625$$ $$V = 5625\pi$$

5. الإجابة النهائية:

$$V = 5625\pi \text{ وحدة مكعبة.}$$