العددان المترافقان / محاضرة 17

تُستخدم الأعداد المركبة بشكل واسع في الرياضيات والهندسة، وهي تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. عند التعامل مع عددين مركبين مترافقين، نلاحظ أن لكل عدد مركب عددًا آخر مترافقًا له بحيث يختلف عنه فقط في إشارة الجزء التخيلي. في هذا التقرير، سنشرح كيفية إيجاد القيم الحقيقية $X$ و $Y$ عند التعامل مع عددين مركبين مترافقين، مع تقديم أمثلة توضيحية.

القواعد الأساسية للأعداد المركبة

1. الصيغة العامة للعدد المركب
   يُكتب العدد المركب بالشكل التالي:

   $$z = a + bi$$حيث $a$ هو الجزء الحقيقي، و$b$ هو الجزء التخيلي.

2. المرافق المركب
   إذا كان لدينا العدد المركب $z = a + bi$، فإن مرافقه هو:

   $$\bar{z} = a – bi$$أي أن المرافق يُحصل عليه بتغيير إشارة الجزء التخيلي فقط.

3. حاصل ضرب عددين مترافقين
   إذا كان لدينا عددان مترافقان $(a + bi)$ و $(a – bi)$، فإن حاصل ضربهما يكون عددًا حقيقيًا:

   $$(a + bi)(a – bi) = a^2 – (bi)^2 = a^2 + b^2$$لأن $i^2 = -1$.

4. حاصل مجموع عددين مترافقين

   $$(a + bi) + (a – bi) = 2a$$أي أن مجموع عددين مترافقين هو عدد حقيقي فقط.

5. حاصل فرق عددين مترافقين

   $$(a + bi) – (a – bi) = 2bi$$أي أن الفرق بين عددين مترافقين هو عدد تخيلي فقط.

إيجاد قيم X و Y في حالة العددين المترافقين

المثال الأول:

إيجاد $X$ و $Y$ في المعادلة:

$$(X + Yi) = (4 + 3i) + (4 – 3i)$$

الحل:

1. نطبق قاعدة جمع العددين المترافقين:

   $$X + Yi = 4 + 3i + 4 – 3i$$

2. نحذف الحدود التخيلية لأن $+3i$ و $-3i$ يلغيان بعضهما:

   $$X + Yi = 8$$إذن:

   $$X = 8, \quad Y = 0$$

المثال الثاني:

إيجاد $X$ و $Y$ في:

$$(X + Yi) = (5 + 2i) – (5 – 2i)$$

الحل:

1. نطبق قاعدة الفرق بين عددين مترافقين:

   $$X + Yi = 5 + 2i – 5 + 2i$$

2. نحذف الحدود الحقيقية لأن $+5$ و $-5$ يلغيان بعضهما:

   $$X + Yi = 4i$$إذن:

   $$X = 0, \quad Y = 4$$

المثال الثالث:

إيجاد $X$ و $Y$ عند ضرب عددين مترافقين:

$$(X + Yi) = (3 + i) \times (3 – i)$$

الحل:

1. نطبق قاعدة ضرب العددين المترافقين:

   $$X + Yi = 3^2 – i^2$$

2. باستخدام حقيقة أن $i^2 = -1$:

   $$X + Yi = 9 – (-1) = 9 + 1 = 10$$إذن:

   $$X = 10, \quad Y = 0$$

الخاتمة

عند التعامل مع عددين مترافقين، يمكننا استخدام قواعد الجمع والطرح والضرب لتبسيط العمليات وإيجاد القيم الحقيقية $X$ و $Y$. يعتبر التعامل مع العددين المترافقين أداة هامة في الجبر المركب، حيث تُستخدم هذه المفاهيم في تطبيقات متعددة في الرياضيات والفيزياء والهندسة.