الفصل الرابع – مراجعة ايجاد المسافة و المساحة بواسطة التكامل

إيجاد المسافة والمساحة بواسطة التكامل – ملخص مبسط

1. إيجاد المسافة باستخدام التكامل

يستخدم التكامل لإيجاد المسافة المقطوعة عند معرفة السرعة المتغيرة بدلالة الزمن.

• المسافة = تكامل السرعة
  إذا كانت السرعة $v(t)$ معطاة بدلالة الزمن $t$، فإن المسافة الكلية المقطوعة خلال الفترة $[a, b]$ تُحسب كالتالي:

  $$s = \int_{a}^{b} |v(t)| dt$$

  ملاحظة: نأخذ القيمة المطلقة للسرعة $|v(t)|$ لضمان أن المسافة المحسوبة تكون موجبة دائمًا، حتى لو كانت السرعة سالبة.

2. إيجاد المساحة باستخدام التكامل

يُستخدم التكامل لحساب المساحة المحصورة بين منحنى دالة ومحور السينات أو بين منحنيين مختلفين.

أ. المساحة تحت منحنى دالة $f(x)$

لحساب المساحة المحصورة بين المنحنى $y = f(x)$ والمحور $x$ في الفترة $[a, b]$:

$$A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$$

ملاحظة: نأخذ القيمة المطلقة $|f(x)|$ إذا كانت الدالة سالبة في جزء من الفترة.

ب. المساحة بين منحنيين $f(x)$ و $g(x)$

لحساب المساحة بين منحنيي دالتين $y = f(x)$ و $y = g(x)$ حيث $f(x)$ فوق $g(x)$ في الفترة $[a, b]$:

$$A = \int_{a}^{b} \left( f(x) – g(x) \right) dx$$

نأخذ الفرق بحيث تكون الدالة العلوية مطروحة من السفلية للحفاظ على المساحة موجبة.

3. تطبيقات عملية

• المسافة: تُستخدم في حساب المسافة التي يقطعها جسم متحرك عند توفر دالة السرعة.
• المساحة: تُستخدم في الهندسة والفيزياء لحساب المساحات بين المنحنيات، مثل إيجاد المساحة تحت منحنى التوزيع الاحتمالي أو حساب المساحات في الرسومات الهندسية.

السؤال رقم 1

جد المساحة بين منحنى الدالة $y = \sin x$ ومحور السينات على الفترة $\left[ -\frac{\pi}{2}, \pi \right]$.

الحل

لحساب المساحة المحصورة بين منحنى الدالة $y = \sin x$ ومحور السينات على الفترة المعطاة، نستخدم التكامل المحدد:

$$A = \int_{a}^{b} |\sin x| dx$$

حيث:

• $a = -\frac{\pi}{2}$
• $b = \pi$

1. تحديد الأجزاء التي يكون فيها $\sin x$ موجبة أو سالبة

• الدالة $\sin x$ سالبة في الفترة $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$.
• الدالة $\sin x$ موجبة في الفترة $\left[0, \pi\right]$.

لذا، سنقسم التكامل إلى جزأين:

• التكامل الأول في الفترة $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ حيث نأخذ القيمة المطلقة $-\sin x$.
• التكامل الثاني في الفترة $\left[0, \pi\right]$ حيث تبقى $\sin x$ كما هي.

2. حساب التكامل

نحسب كل تكامل على حدة:

$$A = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} -\sin x \,dx + \int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$$

التكامل الأول:

$$\int -\sin x \,dx = \cos x$$ $$\left[ \cos x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}$$ $$= \cos(0) – \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)$$ $$= 1 – 0 = 1$$

التكامل الثاني:

$$\int \sin x \,dx = -\cos x$$ $$\left[ -\cos x \right]_{0}^{\pi}$$ $$= -\cos(\pi) + \cos(0)$$ $$= -(-1) + 1 = 2$$

3. حساب المساحة الكلية

$$A = 1 + 2 = 3$$

الإجابة النهائية

المساحة المحصورة بين منحنى الدالة $y = \sin x$ ومحور السينات على الفترة $\left[ -\frac{\pi}{2}, \pi \right]$ تساوي:

$$A = 3$$

هذا هو الرسم البياني لمنحنى الدالة $y = \sin x$ مع تظليل المساحة المحصورة بين المنحنى ومحور السينات:

• المنطقة الحمراء تمثل الجزء الذي يكون فيه $\sin x$ سالبًا في الفترة $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$.
• المنطقة الخضراء تمثل الجزء الذي يكون فيه $\sin x$ موجبًا في الفترة $\left[0, \pi\right]$.

المساحة الكلية لهذه المناطق تساوي 3

السؤال: رقم 4

جد المساحة المحددة بين منحنيي الدالتين $y = \sin x$ و $y = \sin^2 x$ ومحور السينات على الفترة $\left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$.

الحل:

لحساب المساحة المحددة بين منحنيي الدالتين $y = \sin x$ و $y = \sin^2 x$، نستخدم التكامل التالي:

$$A = \int_{a}^{b} \left( f(x) – g(x) \right) dx$$

حيث:

• الدالة العلوية: $f(x) = \sin x$
• الدالة السفلية: $g(x) = \sin^2 x$
• الفترة: $[0, \frac{\pi}{2}]$

وبالتالي، تكون المساحة:

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x – \sin^2 x) dx$$

1. حساب التكامل

نحلل التكامل إلى جزأين:

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx – \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \,dx$$

حساب التكامل الأول:

$$\int \sin x \,dx = -\cos x$$ $$\left[ -\cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)$$ $$= -0 + 1 = 1$$

حساب التكامل الثاني:

نستخدم الهوية:

$$\sin^2 x = \frac{1 – \cos 2x}{2}$$ $$\int \sin^2 x \,dx = \int \frac{1 – \cos 2x}{2} dx$$ $$= \frac{1}{2} \int 1 \,dx – \frac{1}{2} \int \cos 2x \,dx$$

التكامل الأول:

$$\frac{1}{2} \int 1 \,dx = \frac{1}{2} x$$ $$\left[ \frac{1}{2} x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – 0 \right) = \frac{\pi}{4}$$

التكامل الثاني:

$$\frac{1}{2} \int \cos 2x \,dx$$

تكامل $\cos 2x$ هو $\frac{\sin 2x}{2}$:

$$\frac{1}{2} \times \frac{\sin 2x}{2} = \frac{\sin 2x}{4}$$ $$\left[ \frac{\sin 2x}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= \frac{\sin \pi}{4} – \frac{\sin 0}{4}$$ $$= \frac{0}{4} – \frac{0}{4} = 0$$

إذن:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \,dx = \frac{\pi}{4}$$

2. حساب المساحة الكلية

$$A = 1 – \frac{\pi}{4}$$ $$A = 1 – 0.785$$ $$A \approx 0.215$$

الإجابة النهائية:

المساحة المحصورة بين منحنيي الدالتين $y = \sin x$ و $y = \sin^2 x$ على الفترة $[0, \frac{\pi}{2}]$ تساوي:

$$A=1-\frac{\pi }{4}$$