المحاضرة 1/ القطع المكافئ

القطوع المخروطية – القطع المكافئ

تعريف القطع المكافئ: القطع المكافئ هو أحد أنواع القطوع المخروطية، وهو مجموعة نقاط المستوى التي تكون متساوية البعد عن نقطة ثابتة تسمى البؤرة وخط ثابت يسمى الدليل.

معادلة القطع المكافئ:

1. عندما يكون محور التماثل أفقيًا: 

   $$(y – k)^2 = 4p(x – h)$$ 

   • الرأس:
     $(h, k)$ 
   • البؤرة:
     $(h + p, k)$ 
   • الدليل:
     $x = h – p$ 
   • اتجاه الفتحة:
     • إذا كان
       $p > 0$ 

       يتجه نحو اليمين.

     • إذا كان
       $p < 0$ 

       يتجه نحو اليسار.

1. عندما يكون محور التماثل رأسيًا: 

   $$(x – h)^2 = 4p(y – k)$$ 

   • الرأس:
     $(h, k)$ 
   • البؤرة:
     $(h, k + p)$ 
   • الدليل:
     $y = k – p$ 
   • اتجاه الفتحة:
     • إذا كان
       $p > 0$ 

       يتجه للأعلى.

     • إذا كان
       $p < 0$ 

       يتجه للأسفل.

خصائص القطع المكافئ:

1. البؤرة والدليل: أي نقطة على القطع المكافئ تكون على بعد متساوٍ من البؤرة والدليل.
2. محور التماثل: الخط الذي يمر عبر البؤرة والرأس وهو عمودي على الدليل.
3. القطر البؤري: هو الخط المار عبر البؤرة ويكون عموديًا على محور التماثل، وطوله
   $|4p|$ 

البؤرة والدليل:

• البؤرة: هي نقطة ثابتة داخل القطع المكافئ تُستخدم في تعريفه. جميع النقاط على القطع المكافئ تكون على بعد متساوٍ من البؤرة والدليل.
• الدليل: هو خط مستقيم ثابت يكون لكل نقطة على القطع المكافئ نفس البعد عنه وعن البؤرة. يتعامد الدليل مع محور التماثل للقطع المكافئ.

خصائص القطع المكافئ:

1. البؤرة والدليل: أي نقطة على القطع المكافئ تكون على بعد متساوٍ من البؤرة والدليل.
2. محور التماثل: الخط الذي يمر عبر البؤرة والرأس وهو عمودي على الدليل.
3. القطر البؤري: هو الخط المار عبر البؤرة ويكون عموديًا على محور التماثل، وطوله .
4. انعكاس الأشعة: إذا سقط شعاع ضوئي موازٍ لمحور التماثل على القطع المكافئ، فإنه ينعكس مارًا بالبؤرة، مما يجعل هذه الخاصية مفيدة في تصميم الأطباق اللاقطة والمصابيح الكاشفة.

1. انعكاس الأشعة: إذا سقط شعاع ضوئي موازٍ لمحور التماثل على القطع المكافئ، فإنه ينعكس مارًا بالبؤرة، مما يجعل هذه الخاصية مفيدة في تصميم الأطباق اللاقطة والمصابيح الكاشفة.

استخدامات القطع المكافئ:

• تصميم الهوائيات والأطباق اللاقطة.
• تصميم المرايا العاكسة في التلسكوبات والمصابيح الأمامية للسيارات.
• في الهندسة المعمارية لتصميم الأقواس الجمالية والمباني ذات الطابع الانسيابي.