المحاضرة 12/ القطع الناقص/ النوع الثاني

المعطيات:

1. مركز القطع الناقص هو نقطة الأصل $(0,0)$.
2. إحدى بؤرتي القطع الناقص هي بؤرة القطع المكافئ:

   $$x^2 = 24y$$بؤرة القطع المكافئ (نظرًا لأن معادلته على الصورة القياسية $x^2 = 4py$) تُعطى بالعلاقة:

   $$p = \frac{24}{4} = 6$$وبالتالي، بؤرة القطع المكافئ هي $(0,6)$، مما يعني أن إحدى بؤرتي القطع الناقص هي $(0,6)$، والأخرى تكون متناظرة عند $(0,-6)$.
   أي أن المسافة بين البؤرتين في القطع الناقص هي $2c = 12$، أي $c = 6$.

3. مجموع طولي محوري القطع الناقص هو 36 وحدة:

   $$2a + 2b = 36$$

الخطوة 1: حساب القيم الأساسية

من العلاقة:

$$2a + 2b = 36$$

نقسم الطرفين على 2:

$$a + b = 18$$

ونعلم أن في القطع الناقص:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

وبالتعويض بـ $c = 6$:

$$6^2 = a^2 – b^2$$ $$36 = a^2 – b^2$$

الخطوة 2: حل المعادلتين لإيجاد $a$ و $b$

لدينا المعادلتين:

1. $a + b = 18$
2. $a^2 – b^2 = 36$

التعبير عن $a$ بدلالة $b$:

$$a = 18 – b$$

التعويض في المعادلة الثانية:

$$(18 – b)^2 – b^2 = 36$$

نستخدم صيغة مربع الحدانية:

$$(324 – 36b + b^2) – b^2 = 36$$ $$324 – 36b = 36$$ $$324 – 36 = 36b$$ $$288 = 36b$$ $$b = 8$$

إيجاد $a$:

$$a = 18 – 8 = 10$$

الخطوة 3: كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن البؤرتين على المحور $y$ (لأن البؤرتين عند $(0, \pm 6)$)، فإن القطع الناقص رأسي، وبالتالي تأخذ المعادلة الشكل:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

وبالتعويض بالقيم:

$$\frac{x^2}{8^2} + \frac{y^2}{10^2} = 1$$ $$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100} = 1$$

التحقق من القيم:

• المحور الأكبر: $2a = 20$ ✔
• المحور الأصغر: $2b = 16$ ✔
• المجموع: $20 + 16 = 36$ ✔
• المسافة بين البؤرتين: $2c = 12$ ✔

كل الشروط محققة، وبالتالي المعادلة صحيحة! 🎯😊

السؤال التالي

المعطيات:

1. مركز القطع الناقص هو نقطة الأصل $(0,0)$.
2. إحدى بؤرتيه هي $F_1(0,4)$، مما يعني أن البؤرة الأخرى متناظرة عند $F_2(0,-4)$.
   • إذن، المسافة بين البؤرتين هي: $$2c = 8$$
   • ومنها نحصل على: $$c = 4$$
3. مجموع مربعي طولي المحورين هو 136: $$a^2 + b^2 = 136$$

الخطوة 1: العلاقة بين $a$ و $b$

نعلم أن في القطع الناقص:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

وبالتعويض بـ $c = 4$:

$$4^2 = a^2 – b^2$$ $$16 = a^2 – b^2$$

الخطوة 2: حل المعادلتين لإيجاد $a$ و $b$

لدينا المعادلتين:

1. $a^2 – b^2 = 16$
2. $a^2 + b^2 = 136$

نجمع المعادلتين:

$$(a^2 – b^2) + (a^2 + b^2) = 16 + 136$$ $$2a^2 = 152$$ $$a^2 = 76$$

وبالتعويض في المعادلة الثانية:

$$76 + b^2 = 136$$ $$b^2 = 60$$

الخطوة 3: كتابة معادلة القطع الناقص

بما أن البؤرتين على المحور $y$ (لأن البؤرتين عند $(0, \pm 4)$)، فإن القطع الناقص رأسي، وبالتالي تأخذ المعادلة الشكل:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

وبالتعويض بالقيم:

$$\frac{x^2}{60} + \frac{y^2}{76} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{60} + \frac{y^2}{76} = 1$$

التحقق من القيم:

• المجموع: $76 + 60 = 136$ ✔
• المسافة بين البؤرتين: $2c = 8$ ✔

كل الشروط محققة، وبالتالي المعادلة صحيحة! 🎯😊