المحاضرة 14/ القطع الناقص/ النوع الثاني

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل، وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 16x$، وطول محوره الأكبر يزيد عن محوره الأصغر بمقدار (4) وحدات.

الحل:

لدينا قطع ناقص مركزه نقطة الأصل (0,0)، وأحد بؤرتيه هي نفس بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته:

$$y^2 = 16x$$

ومعطى أن طول المحور الأكبر يزيد عن المحور الأصغر بمقدار 4 وحدات، ونريد إيجاد معادلته.

الخطوة 1: إيجاد بؤرة القطع المكافئ

المعادلة المعطاة هي:

$$y^2 = 16x$$

هذه المعادلة على شكل القطع المكافئ القياسي:

$$y^2 = 4ax$$

بمقارنة الثوابت:

$$4a = 16 \Rightarrow a = 4$$

إذن، بؤرة القطع المكافئ تقع عند:

$$(4,0)$$

وبما أن بؤرة القطع الناقص مطابقة لبؤرة القطع المكافئ، فإن:

$$c = 4$$

الخطوة 2: تحديد القيم الأساسية للقطع الناقص

معادلة القطع الناقص تكون بالشكل العام:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $a$ هو نصف المحور الأكبر.
• $b$ هو نصف المحور الأصغر.
• $c$ هو البعد البؤري، حيث $c^2 = a^2 – b^2$ (للقطع الناقص الأفقي).

الخطوة 3: إيجاد قيم $a$ و $b$

معطى أن:

$$طول المحور الأكبر يزيد عن المحور الأصغر بمقدار 4 وحدات$$

أي أن:

$$2a = 2b + 4$$

بالتبسيط:

$$a = b + 2$$

كما نعلم أن:

$$c^2 = a^2 – b^2$$

بالتعويض بالقيم:

$$4^2 = (b+2)^2 – b^2$$ $$16 = (b^2 + 4b + 4) – b^2$$ $$16 = 4b + 4$$ $$12 = 4b$$ $$b = 3$$

وبالتعويض:

$$a = 3 + 2 = 5$$

الخطوة 4: معادلة القطع الناقص

الآن نستخدم القيم التي حصلنا عليها:

$$a^2 = 5^2 = 25, \quad b^2 = 3^2 = 9$$

وبما أن القطع الناقص أفقي، فإن معادلته تكون:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

الإجابة النهائية:

$$\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الناقص المطلوب. ✅

السؤال:

جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد رؤوسه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2 = 20x$ والنسبة البؤرية له $\frac{4}{3}$، ثم احسب طول محوره الأصغر والمسافة بين البؤرتين.

المعادلة المعطاة في الصورة هي:

$$y^2 = 20x$$

تحليل المعادلة ومعرفة خصائص القطع المكافئ:

هذه المعادلة تمثل قطعًا مكافئًا يفتح نحو اليمين، ويمكن مقارنتها بالمعادلة القياسية للقطع المكافئ الذي محوره الأفقي:

$$y^2 = 4ax$$

بمقارنة المعادلتين نجد أن:

$$4a = 20 \Rightarrow a = 5$$

خصائص القطع المكافئ:

1. التركيز (البؤرة):
   • معادلة القطع المكافئ من النوع $y^2 = 4ax$ يكون تركيزه عند النقطة:

     $$(a, 0)$$

   • بالتعويض عن $a = 5$، تكون البؤرة عند النقطة (5,0).
2. معادلة الدليل:
   • معادلة الدليل تُعطى بالمعادلة:

     $$x = -a$$

   • بالتعويض عن $a = 5$، تكون معادلة الدليل: $x = -5$.
3. الإكسنتريكية (النسبة البؤرية):
   • النسبة البؤرية $e$ للقطع المكافئ دائمًا تساوي 1.
4. المسافة بين البؤرتين:
   • في القطع المكافئ لا توجد بؤرتان كما في القطع الناقص أو الزائد، لذا هذا الجزء ربما يخص مسألة أخرى متعلقة بقطع ناقص أو زائد.