المحاضرة9 / القطع الناقص/ النوع الأول

لدينا معادلة القطع الناقص:

$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{64} = 1$

من المعادلة، نلاحظ أن القيم الموجودة في المقامات هي $a^2 = 64$ و $b^2 = 36$ ، مما يعني أن:

بما أن $a^2$ تحت $y^2$ ، فإن القطع الناقص رأسي، أي أن المحور الأكبر هو المحور الرأسي.

إحداثيات الرأسين: الرأسين على المحور الأكبر (الرأسي)، وبالتالي:
$(0, \pm a) = (0, \pm 8)$
إحداثيات القطبين: القطبين على المحور الأصغر (الأفقي)، وبالتالي:
$(\pm b, 0) = (\pm 6, 0)$
إحداثيات البؤرتين: البؤرتان توجدان على المحور الأكبر، ويتم حساب بعد البؤرة $c$ باستخدام العلاقة:
$c^2 = a^2 – b^2$ $c^2 = 64 – 36 = 28$ $c = \sqrt{28} \approx 5.29$ إذن، إحداثيات البؤرتين:
$(0, \pm c) = (0, \pm 5.29)$
طول المحورين:
- طول المحور الأكبر: $2a = 16$
- طول المحور الأصغر: $2b = 12$
الاختلاف المركزي: يُحسب بالعلاقة:
$e = \frac{c}{a} = \frac{5.29}{8} \approx 0.66$
المساحة: تعطى بالعلاقة:
$A = \pi a b$ $A = \pi \times 8 \times 6 = 48\pi$ بالتقريب:
$A \approx 150.8$
المحيط: يُحسب تقريبيًا باستخدام الصيغة التقريبية:
$P \approx \pi \left[ 3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right]$ بالتعويض:
$P \approx \pi \left[ 3(8 + 6) – \sqrt{(3(8) + 6)(8 + 3(6))} \right]$ $P \approx \pi \left[ 3(14) – \sqrt{(24 + 6)(8 + 18)} \right]$ $P \approx \pi \left[ 42 – \sqrt{30 \times 26} \right]$ $P \approx \pi \left[ 42 – \sqrt{780} \right]$ $P \approx \pi \left[ 42 – 27.93 \right] \approx \pi \times 14.07$ $P \approx 44.2$

السوال التالي

لدينا معادلة القطع الناقص:

$9x^2 + 4y^2 = 36$

نقسم جميع الحدود على 36:

$\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = \frac{36}{36}$ $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

هنا نلاحظ أن $a^2 = 9$ و $b^2 = 4$ ، مما يعني أن:

بما أن $a^2$ تحت $y^2$ ، فإن القطع الناقص رأسي، أي أن المحور الأكبر هو المحور الرأسي.

إحداثيات الرأسين: الرأسين على المحور الأكبر (الرأسي)، وبالتالي:
$(0, \pm a) = (0, \pm 3)$
إحداثيات القطبين: القطبين على المحور الأصغر (الأفقي)، وبالتالي:
$(\pm b, 0) = (\pm 2, 0)$
إحداثيات البؤرتين: البؤرتان توجدان على المحور الأكبر، ويتم حساب بعد البؤرة $c$ باستخدام العلاقة:
$c^2 = a^2 – b^2$ $c^2 = 9 – 4 = 5$ $c = \sqrt{5} \approx 2.24$ إذن، إحداثيات البؤرتين:
$(0, \pm c) = (0, \pm 2.24)$
طول المحورين:
- طول المحور الأكبر: $2a = 6$
- طول المحور الأصغر: $2b = 4$
الاختلاف المركزي: يُحسب بالعلاقة:
$e = \frac{c}{a} = \frac{2.24}{3} \approx 0.75$
المساحة: تعطى بالعلاقة:
$A = \pi a b$ $A = \pi \times 3 \times 2 = 6\pi$ بالتقريب:
$A \approx 18.85$
المحيط: يُحسب تقريبيًا باستخدام الصيغة التقريبية:
$P \approx \pi \left[ 3(a + b) – \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right]$ بالتعويض:
$P \approx \pi \left[ 3(3 + 2) – \sqrt{(3(3) + 2)(3 + 3(2))} \right]$ $P \approx \pi \left[ 3(5) – \sqrt{(9 + 2)(3 + 6)} \right]$ $P \approx \pi \left[ 15 – \sqrt{11 \times 9} \right]$ $P \approx \pi \left[ 15 – \sqrt{99} \right]$ $P \approx \pi \left[ 15 – 9.95 \right] \approx \pi \times 5.05$ $P \approx 15.86$

هل تحتاج إلى أي توضيح إضافي؟ 😊