حل المعادلة التفاضلية بطريقة فصل المتغيرات

طريقة فصل المتغيرات (Separation of Variables) هي واحدة من أبسط وأهم الطرق لحل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى. تستخدم هذه الطريقة عندما يمكن كتابة المعادلة على الشكل:

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$

والفكرة الأساسية هي فصل المتغيرين $x$ و $y$ كل في طرف من طرفي المعادلة، ثم التكامل.

🔹 خطوات الحل بطريقة فصل المتغيرات:

1. إعادة كتابة المعادلة: إذا كانت المعادلة على شكل:

   $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$نقوم بإعادة ترتيبها لتصبح:

   $$\frac{1}{g(y)} dy = f(x) dx$$

2. التكامل على الطرفين:

   $$\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx$$

3. إيجاد الحل العام: بعد التكامل، نحصل على علاقة بين $y$ و $x$. قد تحتوي على ثابت تكامل $C$.
4. (اختياري) إذا كانت هناك قيمة ابتدائية مثل $y(x_0) = y_0$، نستخدمها لإيجاد قيمة $C$.

🔹 مثال توضيحي:

حل المعادلة:

$$\frac{dy}{dx} = x y$$

الخطوة 1: فصل المتغيرات

$$\frac{1}{y} dy = x dx$$

الخطوة 2: التكامل

$$\int \frac{1}{y} dy = \int x dx$$ $$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$

الخطوة 3: حل المعادلة

نأخذ الأس للطرفين:

$$|y| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = Ce^{\frac{x^2}{2}} \quad \text{(حيث } C = \pm e^C \text{ ثابت جديد)}$$

إذن:

$$y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$$

⚠️ ملاحظات:

• طريقة فصل المتغيرات لا تنجح دائمًا، بل فقط عندما يمكن كتابة المعادلة بحيث تكون كل متغيرات $y$ في جهة وكل متغيرات $x$ في جهة.
• تحقق دائمًا من إمكانية فصل المتغيرات قبل بدء الحل.

السؤال: رقم 1

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$\frac{dy}{dx} = 2x + 5$$

الحل:

هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، ويمكن حلها باستخدام التكامل المباشر.

1. فصل المتغيرات: نعيد كتابة المعادلة على شكل:

   $$dy = (2x + 5) dx$$

2. التكامل للطرفين:

   $$\int dy = \int (2x + 5) dx$$نحسب التكامل:

   $$y = \int 2x \, dx + \int 5 \, dx$$ $$y = \frac{2x^2}{2} + 5x + C$$ $$y = x^2 + 5x + C$$

النتيجة النهائية:

$$y = x^2 + 5x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.
إذا كانت هناك قيمة ابتدائية مثل $y(x_0) = y_0$، يمكننا تعيين قيمة $C$.

السؤال: رقم 3

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$(y^2 + 4y – 1) \frac{dy}{dx} = x^2 – 2x + 3$$

الحل:

هذه معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، ويمكن حلها بطريقة فصل المتغيرات.

1. فصل المتغيرات

نكتب المعادلة بالشكل:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 – 2x + 3}{y^2 + 4y – 1}$$

ثم نفصل المتغيرات:

$$\frac{dy}{y^2 + 4y – 1} = \frac{x^2 – 2x + 3}{dx}$$

2. التكامل للطرفين

نحسب التكامل لكل طرف:

$$\int \frac{dy}{y^2 + 4y – 1} = \int (x^2 – 2x + 3) dx$$

تكامل الطرف الأيمن

نحسب التكامل مباشرة:

$$\int (x^2 – 2x + 3) dx = \frac{x^3}{3} – x^2 + 3x + C_1$$

تكامل الطرف الأيسر

لإيجاد التكامل $\int \frac{dy}{y^2 + 4y – 1}$، يمكننا تحليل المقام أو استخدام إكمال المربع:

$$y^2 + 4y – 1 = (y+2)^2 – 5$$

ثم نستخدم التكامل المناسب لهذا الشكل.

3. الحل العام

بما أن الطرف الأيسر يحتاج إلى تكامل خاص باستخدام اللوغاريتمات أو الدوال المثلثية العكسية، يمكن ترك النتيجة بدلالة التكامل:

$$\int \frac{dy}{y^2 + 4y – 1} = \frac{x^3}{3} – x^2 + 3x + C$$

هذا يعبر عن الحل الضمني للمعادلة.