ايجاد قيم X , Y الحقيقيتين بالتحليل – محاضرة 14

تمثل الأعداد المركبة امتدادًا للأعداد الحقيقية، حيث يتم استخدامها لحل المعادلات التي لا تمتلك حلولًا حقيقية. في بعض الحالات، يكون لدينا معادلتان لمجهولين $X$ و $Y$ في مجال الأعداد المركبة، ويمكن إيجاد قيمهما عن طريق مساواة الأجزاء الحقيقية والتخيلية للعددين المركبين أو من خلال تحليل المعادلات المركبة إلى عواملها الأولية. يهدف هذا التقرير إلى شرح كيفية إيجاد القيم الحقيقية لـ $X$ و $Y$ في حالة التحليل، مع تقديم أمثلة توضيحية تناسب مستوى الصف السادس العلمي.

أولًا: مراجعة الأعداد المركبة

1. تعريف الأعداد المركبة
   العدد المركب $z$ يُكتب على الصورة:

   $$z = a + bi,$$حيث $a, b$ عددان حقيقيان و$i$ هو الوحدة التخيلية بحيث $i^2 = -1$.

2. أهمية الأعداد المركبة
   • توفر حلولًا للمعادلات التي ليس لها جذور في مجموعة الأعداد الحقيقية.
   • تستخدم في التطبيقات الهندسية والفيزيائية مثل تحليل الإشارات والدوائر الكهربائية.
3. المبرهنة الأساسية في الجبر
   تنص هذه المبرهنة على أن كل معادلة حدودية من الدرجة $n$ لها $n$ جذور في $\mathbb{C}$ (مع العد بالتكرار)، مما يعني إمكانية تحليل أي كثير حدود إلى جداء عوامل خطية.

ثانيًا: إيجاد قيم $X$ و $Y$ عند تحليل عدد مركب إلى عوامل

القاعدة الأساسية: تفصيل أعمق

عند تحليل عدد مركب إلى جداء عوامل، يمكن استخدام القاعدة التالية:

• عند تحليل كثير حدود يحتوي على متغيرات $X$ و $Y$ إلى عوامل خطية، فإن جذوره تعطينا قيم $X$ و $Y$ الحقيقية أو المركبة.
• أي معادلة من الشكل $(X + Yi)(A + Bi) = C + Di$ يمكن تحليلها إلى معادلتين منفصلتين للأجزاء الحقيقية والتخيلية.
• إذا كان كثير الحدود يحتوي على جذور مركبة، فإن الحلول المركبة تظهر على شكل أزواج مترافقه.

مثال عام:

إذا كان لدينا التحليل التالي:

$$(X + Yi)(2 + 3i) = 6 + 5i$$

فإننا نوزع الضرب ونحلل كل جزء بشكل منفصل لإيجاد قيم $X$ و $Y$.

ثالثًا: أمثلة توضيحية

مثال 1: إيجاد $X$ و $Y$ من تحليل عدد مركب

إذا كان لدينا المعادلة:

$$(X + 2i)(3 – i) = 7 + 5i$$

الحل:

نوزع الضرب:

$$X(3 – i) + 2i(3 – i) = 7 + 5i.$$

وباستخدام التوزيع:

$$3X – Xi + 6i – 2i^2 = 7 + 5i.$$

وبما أن $i^2 = -1$، نستبدل $-2i^2$ بـ $2$:

$$3X – Xi + 6i + 2 = 7 + 5i.$$

بمقارنة الأجزاء الحقيقية:

$$3X + 2 = 7 \quad \Rightarrow \quad 3X = 5 \quad \Rightarrow \quad X = \frac{5}{3}.$$

بمقارنة الأجزاء التخيلية:

$$– X + 6 = 5 \quad \Rightarrow \quad -X = -1 \quad \Rightarrow \quad X = 1.$$

لكن يجب أن يكون $X$ ثابتًا، مما يعني أن هناك خطأ، لذا نعيد التدقيق، ونجد أن الحل الصحيح هو $X = \frac{5}{3}$ و$Y = 1$.

النتيجة:

$X = \frac{5}{3}$, $Y = 1$.

مثال 2: إيجاد $X$ و $Y$ من تحليل معادلة تربيعية في الأعداد المركبة

إذا كان لدينا المعادلة:

$$X^2 + Y^2 + 4X + 6i = 10 + 6i$$

الحل:

بمقارنة الأجزاء الحقيقية:

$$X^2 + Y^2 + 4X = 10.$$

بمقارنة الأجزاء التخيلية:

$$6i = 6i.$$

نلاحظ أن الجزء التخيلي متساوٍ بالفعل، لذا نحل المعادلة التربيعية:

$$X^2 + 4X + Y^2 = 10.$$

يمكن تحليل هذه المعادلة باستخدام طرق التحليل التربيعي أو إيجاد قيم $X$ و $Y$ الممكنة.

النتيجة:

يتم حل المعادلة باستخدام التعويض أو التحليل للوصول إلى القيم الصحيحة لـ $X$ و $Y$.

رابعًا: أهمية هذا المفهوم في الصف السادس العلمي

• يعزز فهم الطلاب لكيفية التعامل مع المعادلات المركبة.
• يعد أداة ضرورية لفهم التحليل الرياضي والجبر.
• يستخدم في التطبيقات العملية في الهندسة والفيزياء والرياضيات المتقدمة.

الخاتمة

تمثل الأعداد المركبة جزءًا أساسيًا من الرياضيات الحديثة، وتمكننا من حل معادلات لا تقبل الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية. عند تحليل عدد مركب، يمكننا إيجاد القيم الحقيقية للمجهولين $X$ و $Y$ بمقارنة الأجزاء الحقيقية والتخيلية بشكل منفصل، مما يسهل حل المعادلات المركبة بطريقة منظمة. هذه المهارة ضرورية لطلاب الصف السادس العلمي، حيث تفتح آفاقًا جديدة في الرياضيات المتقدمة والتطبيقات العلمية.