ايجاد قيم X , Y الحقيقيتين في حالة الكسور – محاضرة 15

تعتبر الأعداد المركبة من المواضيع الأساسية في الرياضيات، حيث تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. عند التعامل مع الكسور في الأعداد المركبة، نحتاج إلى تطبيق بعض القواعد الخاصة لإيجاد القيم الحقيقية X و Y. في هذا التقرير، سنتناول القواعد الأساسية للأعداد المركبة، مع شرح مفصل لطريقة تبسيط الكسور وإيجاد القيم المطلوبة، مدعومًا بأمثلة تطبيقية.

القواعد الأساسية للأعداد المركبة

1. الصيغة العامة للعدد المركب
   يُكتب العدد المركب بالشكل التالي:

   $$z = a + bi$$حيث $a$ هو الجزء الحقيقي، و$b$ هو الجزء التخيلي.

2. المرافق المركب
   المرافق للعدد المركب $z = a + bi$ هو $\bar{z} = a – bi$. يستخدم المرافق عند قسمة الأعداد المركبة لتبسيط المقام.
3. قاعدة ضرب الأعداد المركبة
   عند ضرب عددين مركبين $(a + bi)$ و $(c + di)$، فإن الناتج يكون:

   $$(ac – bd) + (ad + bc)i$$

4. قاعدة قسمة الأعداد المركبة
   عند قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر، نضرب البسط والمقام في المرافق للمقام للتخلص من الجزء التخيلي في المقام.

إيجاد قيم X و Y في حالة الكسور

لإيجاد القيم الحقيقية $X$ و $Y$ عند قسمة عددين مركبين، نتبع الخطوات التالية:

المثال الأول:

إيجاد $X$ و $Y$ في المعادلة:

$$\frac{3 + 4i}{2 – i} = X + Yi$$

الحل:

1. نضرب البسط والمقام في مرافق المقام $(2 + i)$:

   $$\frac{(3 + 4i) \times (2 + i)}{(2 – i) \times (2 + i)}$$

2. حساب المقام:

   $$(2 – i)(2 + i) = 4 + 1 = 5$$

3. حساب البسط:

   $$(3 + 4i)(2 + i) = 6 + 3i + 8i – 4$$ $$= 2 + 11i$$

4. قسمة كل جزء على المقام:

   $$X + Yi = \frac{2}{5} + \frac{11}{5}i$$إذن:

   $$X = \frac{2}{5}, \quad Y = \frac{11}{5}$$

المثال الثاني:

إيجاد $X$ و $Y$ في:

$$\frac{5 – 2i}{1 + 3i} = X + Yi$$

الحل:

1. نضرب في مرافق المقام $(1 – 3i)$:

   $$\frac{(5 – 2i)(1 – 3i)}{(1 + 3i)(1 – 3i)}$$

2. حساب المقام:

   $$(1 + 3i)(1 – 3i) = 1 + 9 = 10$$

3. حساب البسط:

   $$(5 – 2i)(1 – 3i) = 5 – 15i – 2i – 6$$ $$= -1 – 17i$$

4. قسمة كل جزء على 10:

   $$X + Yi = \frac{-1}{10} + \frac{-17}{10}i$$إذن:

   $$X = -\frac{1}{10}, \quad Y = -\frac{17}{10}$$