حل المعادلة التربيعية في c

الرياضيات للصف السادس العلمي حل المعادلة التربيعية في c

 

 

حل المعادلة التربيعية: لحل المعادلة التربيعية من الشكل العام: aZ2+bZ+c=0aZ^2 + bZ + c = 0 نستخدم القانون العام: Z=−b±b2−4ac2aZ = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}

تطبيق على المعادلة: نحل المعادلة التالية: Z2−3Z+3+i=0Z^2 – 3Z + 3 + i = 0

حيث:

  • a=1a = 1
  • b=−3b = -3
  • c=3+ic = 3 + i

حساب المميز: Δ=b2−4ac\Delta = b^2 – 4ac Δ=(−3)2−4(1)(3+i)\Delta = (-3)^2 – 4(1)(3 + i) Δ=9−12−4i\Delta = 9 – 12 – 4i Δ=−3−4i\Delta = -3 – 4i

حساب الجذر التربيعي للمميز: لحساب −3−4i\sqrt{-3 – 4i}، نبحث عن عدد مركب من الشكل x+yix + yi بحيث: (x+yi)2=−3−4i(x + yi)^2 = -3 – 4i

بتوسيع الطرف الأيسر: x2−y2+2xyi=−3−4ix^2 – y^2 + 2xyi = -3 – 4i

بمقارنة الأجزاء الحقيقية والتخيلية، نحصل على:

  1. x2−y2=−3x^2 – y^2 = -3
  2. 2xy=−42xy = -4 ⇒xy=−2\Rightarrow xy = -2

بحل هاتين المعادلتين، نجد أن: x=1,y=−2x = 1, \quad y = -2

إذن: −3−4i=1−2i\sqrt{-3 – 4i} = 1 – 2i

حساب الجذور: Z=3±(1−2i)2Z = \frac{3 \pm (1 – 2i)}{2}

Z1=3+1−2i2=4−2i2=2−iZ_1 = \frac{3 + 1 – 2i}{2} = \frac{4 – 2i}{2} = 2 – i

Z2=3−1+2i2=2+2i2=1+iZ_2 = \frac{3 – 1 + 2i}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i

النتيجة: الجذور في مجموعة الأعداد المركبة هي: Z1=2−i,Z2=1+iZ_1 = 2 – i, \quad Z_2 = 1 + i

من خلال هذا التحليل، نجد أن بعض المعادلات التربيعية قد تحتوي على حلول غير حقيقية، مما يتطلب استخدام الأعداد المركبة. هذه الحلول ذات أهمية كبيرة في مجالات الهندسة والفيزياء والرياضيات التطبيقية، حيث يتم استخدامها في دراسة الظواهر الكهربائية والمعادلات التفاضلية المعقدة.

 

حل المعادلة التربيعية في مجموعة الأعداد المركبة

المعادلة المعطاة:

2Z2−5Z+13=02Z^2 – 5Z + 13 = 0

الخطوة 1: حساب المميز

المميز Δ\Delta يُحسب باستخدام القانون:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 – 4ac

حيث أن:

  • a=2a = 2
  • b=−5b = -5
  • c=13c = 13

نحسب المميز:

Δ=(−5)2−4(2)(13)\Delta = (-5)^2 – 4(2)(13) Δ=25−104\Delta = 25 – 104 Δ=−79\Delta = -79

بما أن Δ<0\Delta < 0، فإن المعادلة لها جذرين مركبين.

الخطوة 2: حساب الجذور باستخدام القانون العام

يُستخدم القانون العام:

Z=−b±Δ2aZ = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}

بتعويض القيم:

Z=−(−5)±−792(2)Z = \frac{-(-5) \pm \sqrt{-79}}{2(2)} Z=5±−794Z = \frac{5 \pm \sqrt{-79}}{4}

نعلم أن −79=i79\sqrt{-79} = i \sqrt{79}، حيث ii هو الوحدة التخيلية، وبالتالي:

Z=5±i794Z = \frac{5 \pm i\sqrt{79}}{4}

النتيجة النهائية:

لللمعادلة جذرين مركبين هما:

Z1=5+i794Z_1 = \frac{5 + i\sqrt{79}}{4} Z2=5−i794Z_2 = \frac{5 – i\sqrt{79}}{4}

الاستنتاج:

بما أن المميز سالب، فإن جذري المعادلة هما عددان مركبان مترافقان. وهذا يؤكد أن مجموعة الأعداد المركبة C\mathbb{C} توفر حلولًا لمعادلات من هذا النوع عندما لا تكون لها جذور حقيقية.

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي