خواص مرافق العدد المركب / محاضرة 10

يُعد مرافق العدد المركب أحد المفاهيم الرئيسة في الرياضيات، إذ يساهم في تسهيل إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة (كالقسمة) وإثبات العديد من العلاقات المهمة. يهدف هذا التقرير إلى توضيح المعنى الأساسي لمرافق العدد المركب، وبيان الخواص الأساسية التي يتمتّع بها، مع أمثلة تطبيقية متنوعة.

تعريف مرافق العدد المركب

• إذا كان لدينا عدد مركب $z = a + bi$، فإن مرافقه هو $\bar{z} = a – bi$.
• تكمن أهميته في أن ضرب العدد المركب بمرافقه يولّد عددًا حقيقيًا قيمته $a^2 + b^2$.

مثال: $z = 3 + 2i$ $\rightarrow \bar{z} = 3 – 2i$.

أهمية مرافق العدد المركب

1. تبسيط القسمة: من أجل التخلص من الجزء التخيلي في المقام عند قسمة عددين مركبين، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
2. إثبات العلاقات: كثيرٌ من المسائل تتطلب استخدام المرافق لإظهار أن طرفًا يساوي طرفًا آخر في الأعداد المركبة.
3. التعبير القياسي: ضرب العدد بالمرافق يساعد في تحويل المقام التخيلي إلى حقيقي، فيسهل كتابة الناتج على الصورة $x + yi$.

الخواص الأساسية للمرافق

1. خاصية الجمع

$\overline{(x + y)} = \bar{x} + \bar{y}$
أي أن مرافق مجموع عددين مركبين يساوي مجموع مرافق كل منهما.

2. خاصية الطرح

$\overline{(x – y)} = \bar{x} – \bar{y}$
أي أن مرافق طرح عددين مركبين يساوي طرح مرافقهما.

3. خاصية الضرب

$\overline{(x \cdot y)} = \bar{x} \cdot \bar{y}$
مرافق حاصل ضرب عددين مركبين هو حاصل ضرب مرافق كلٍّ منهما.

4. خاصية القسمة

$\overline{\left(\frac{x}{y}\right)} = \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$
أي أن مرافق ناتج قسمة عددين مركبين هو قسمة مرافق البسط على مرافق المقام.

5. مرافق العدد الحقيقي

إذا كان $z = a$ (عددًا حقيقيًا فقط، أي لا يحوي جزءًا تخيليًّا) فإن $\bar{z} = z$. مثال: مرافق 5 هو 5.

6. مرافق المرافق

$\overline{\overline{z}} = z$
أي أن أخذ المرافق مرتين يعيد العدد المركب إلى نفسه.

أمثلة تطبيقية معقدة

مثال 1: خاصية الضرب

أثبت أن $\overline{(x \cdot y)} = \bar{x} \cdot \bar{y}$ حيث $x = 2 + 3i$ و$y = 1 – 4i$.

1. الطرف الأيسر: $$\overline{(2 + 3i) \cdot (1 – 4i)} = \overline{(2 – 8i + 3i – 12)} = \overline{(-10 – 5i)}.$$ نأخذ المرافق: $$-10 + 5i.$$
2. الطرف الأيمن: $$\bar{x} = 2 – 3i, \quad \bar{y} = 1 + 4i.$$ نحسب الضرب: $$(2 – 3i) \cdot (1 + 4i) = 2 + 8i – 3i – 12i^2.$$ تبسيط: $$2 + 5i + 12 = -10 + 5i.$$ إذن: $\overline{(x \cdot y)} = \bar{x} \cdot \bar{y}$.

مثال 2: خاصية القسمة

أثبت أن $\overline{\left(\frac{x}{y}\right)} = \frac{\bar{x}}{\bar{y}}$ حيث $x = 3 + i$ و$y = 1 – 2i$.

1. الطرف الأيسر: نحسب القسمة عبر ضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

   $$\frac{(3 + i) (1 + 2i)}{(1 – 2i)(1 + 2i)} = \frac{(3 + 6i + i + 2i^2)}{(1 + 4)}.$$تبسيط:

   $$\frac{(3 + 7i – 2)}{5} = \frac{1 + 7i}{5}.$$نأخذ المرافق:

   $$\frac{1 – 7i}{5}.$$

2. الطرف الأيمن:

   $$\bar{x} = 3 – i, \quad \bar{y} = 1 + 2i.$$نحسب $\frac{\bar{x}}{\bar{y}}$ بنفس الطريقة، لنحصل على نفس النتيجة $\frac{1 – 7i}{5}$. إذن، تحققنا من صحة الخاصية.