قوانين التكامل للدوال المثلثية / محاضرة 10

التكاملات المثلثية: شرح مفصل مع الأمثلة

التكاملات المثلثية تُعد من أهم أنواع التكاملات التي يتم استخدامها في الحسابات الرياضية والفيزيائية. تعتمد على قوانين المثلثات وهويات التكامل الأساسية، وقد يتم تبسيطها باستخدام التبديلات المثلثية.

1. التكاملات الأساسية للدوال المثلثية

تعتبر هذه القواعد الأساس في حساب التكاملات التي تتضمن الدوال المثلثية:

$$\int \sin(x) \,dx = -\cos(x) + C$$ $$\int \cos(x) \,dx = \sin(x) + C$$ $$\int \tan(x) \,dx = \ln|\sec(x)| + C$$ $$\int \cot(x) \,dx = \ln|\sin(x)| + C$$ $$\int \sec(x) \,dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$$ $$\int \csc(x) \,dx = \ln|\csc(x) – \cot(x)| + C$$

مثال 1:

احسب التكامل:

$$I = \int \sin(3x) \,dx$$

الحل: نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int \sin(ax) \,dx = -\frac{1}{a} \cos(ax) + C$$ $$I = -\frac{1}{3} \cos(3x) + C$$

2. تكاملات الدوال المثلثية المرفوعة لأسس

عندما يكون لدينا دوال مثلثية مرفوعة لأسس، يمكن استخدام هويات مثلثية لتبسيط المسألة.

حالة: الأس زوجي

إذا كان الأس زوجيًا، نستخدم الهوية:

$$\sin^2(x) = \frac{1 – \cos(2x)}{2}$$ $$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$

مثال 2:

احسب التكامل:

$$I = \int \sin^2(x) \,dx$$

الحل: نستخدم الهوية:

$$I = \int \frac{1 – \cos(2x)}{2} \,dx$$ $$I = \frac{1}{2} \int dx – \frac{1}{2} \int \cos(2x) \,dx$$ $$I = \frac{x}{2} – \frac{1}{4} \sin(2x) + C$$

حالة: الأس فردي

إذا كان الأس فرديًا، يتم فصل أحد الحدود لتسهيل التكامل.

مثال 3:

احسب التكامل:

$$I = \int \sin^3(x) \,dx$$

الحل: نكتب $\sin^3(x)$ على الشكل:

$$\sin^3(x) = \sin(x) \cdot \sin^2(x)$$

ثم نستخدم الهوية:

$$\sin^2(x) = 1 – \cos^2(x)$$ $$I = \int \sin(x) (1 – \cos^2(x)) \,dx$$

نضع $u = \cos(x)$ بحيث $du = -\sin(x)dx$، فنحصل على:

$$I = \int (1 – u^2) (-du)$$ $$I = -\int (1 – u^2) \,du$$ $$I = -\left( u – \frac{u^3}{3} \right) + C$$ $$I = -\cos(x) + \frac{\cos^3(x)}{3} + C$$

3. تكاملات جداء الدوال المثلثية

عند وجود جداء بين دالتين مثلثيتين، يمكن استخدام الهويات المثلثية لتبسيط التكامل.

الهويات المستخدمة:

$$\sin(a) \cos(b) = \frac{1}{2} [\sin(a-b) + \sin(a+b)]$$ $$\cos(a) \cos(b) = \frac{1}{2} [\cos(a-b) + \cos(a+b)]$$ $$\sin(a) \sin(b) = \frac{1}{2} [\cos(a-b) – \cos(a+b)]$$

مثال 4:

احسب التكامل:

$$I = \int \sin(2x) \cos(3x) \,dx$$

الحل: نستخدم الهوية:

$$\sin(2x) \cos(3x) = \frac{1}{2} [\sin(2x-3x) + \sin(2x+3x)]$$ $$= \frac{1}{2} [\sin(-x) + \sin(5x)]$$ $$= \frac{1}{2} [-\sin(x) + \sin(5x)]$$ $$I = \frac{1}{2} \int (-\sin(x) + \sin(5x)) \,dx$$ $$= \frac{1}{2} \left( \cos(x) – \frac{\cos(5x)}{5} \right) + C$$

4. تكاملات الدوال المثلثية العكسية

عند وجود دوال مثلثية عكسية في التكامل، فإن القوانين التالية تستخدم:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1}(x) + C$$ $$\int \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}(x) + C$$ $$\int \frac{dx}{|x|\sqrt{x^2-1}} = \sec^{-1}(x) + C$$

مثال 5:

احسب التكامل:

$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{4 – x^2}}$$

الحل: نضع $x = 2\sin(\theta)$ بحيث $dx = 2\cos(\theta) d\theta$.

$$I = \int \frac{2\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{4 – 4\sin^2(\theta)}}$$ $$= \int \frac{2\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{4(1 – \sin^2(\theta))}}$$ $$= \int \frac{2\cos(\theta) d\theta}{\sqrt{4\cos^2(\theta)}}$$ $$= \int \frac{2\cos(\theta) d\theta}{2\cos(\theta)}$$ $$= \int d\theta = \theta + C$$

بما أن $\theta = \sin^{-1}(x/2)$، نحصل على:

$$I = \sin^{-1}(x/2) + C$$

5. التكاملات باستخدام التبديل المثلثي

يتم استخدام التبديل المثلثي عند وجود جذور مثلثية:

1. إذا كان $\sqrt{a^2 – x^2}$ → ضع $x = a\sin(\theta)$
2. إذا كان $\sqrt{x^2 + a^2}$ → ضع $x = a\tan(\theta)$
3. إذا كان $\sqrt{x^2 – a^2}$ → ضع $x = a\sec(\theta)$