محاضرة 1 / مراجعة قواعد الاشتقاق

شرح تفصيلي لقواعد الاشتقاق في الرياضيات

الاشتقاق هو أحد أهم المفاهيم في التفاضل والتكامل، ويستخدم لحساب معدل التغير اللحظي لدالة معينة. لفهم قواعد الاشتقاق، سنبدأ بالتعريف الأساسي ثم نشرح كل قاعدة بالتفصيل مع أمثلة.

1. تعريف الاشتقاق

يعبر الاشتقاق عن ميل المماس لمنحنى دالة عند نقطة معينة. إذا كانت $f(x)$ دالة قابلة للاشتقاق، فإن المشتقة الأولى لها تُعرَّف بالصورة التالية:

$$f'(x) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h}$$

حيث تمثل هذه العلاقة نسبة التغير في الدالة $f(x)$ عندما تقترب $x$ من قيمة معينة.

2. قواعد الاشتقاق الأساسية

(أ) مشتقة الثابت

إذا كانت $c$ عددًا ثابتًا، فإن:

$$\frac{d}{dx} (c) = 0$$

لأن الثابت لا يتغير عند أي قيمة لـ $x$.

مثال:

$$\frac{d}{dx} (5) = 0$$

(ب) قاعدة مشتقة القوة (قاعدة نيوتن)

إذا كانت $f(x) = x^n$ حيث $n$ عدد حقيقي، فإن مشتقتها تُحسب بالقانون التالي:

$$\frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1}$$

أمثلة:

1. $\frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2$
2. $\frac{d}{dx} (x^5) = 5x^4$
3. $\frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ لأن $\sqrt{x} = x^{1/2}$.

(ج) قاعدة الجمع والطرح

إذا كانت $f(x)$ و $g(x)$ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن:

$$\frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x)$$

مثال: إذا كانت $f(x) = x^3 + 2x^2 – 4x + 7$، فإن:

$$f'(x) = 3x^2 + 4x – 4$$

(د) قاعدة الضرب

إذا كانت $f(x)$ و $g(x)$ دالتين قابلتين للاشتقاق، فإن مشتقة حاصل ضربهما تُحسب كالتالي:

$$\frac{d}{dx} [f(x) g(x)] = f(x) g'(x) + f'(x) g(x)$$

مثال: إذا كانت $f(x) = x^2$ و$g(x) = \sin x$، فإن:

$$\frac{d}{dx} (x^2 \sin x) = x^2 \cos x + 2x \sin x$$

(هـ) قاعدة القسمة

إذا كانت $f(x)$ و $g(x)$ دالتين قابلتين للاشتقاق، و$g(x) \neq 0$، فإن:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) g(x) – f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}$$

مثال: إذا كانت $f(x) = x^2$ و$g(x) = x+1$، فإن:

$$\frac{d}{dx} \left( \frac{x^2}{x+1} \right) = \frac{2x(x+1) – x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$

3. قاعدة السلسلة (قاعدة التابع المركب)

تُستخدم قاعدة السلسلة لاشتقاق الدوال المركبة من الشكل $f(g(x))$، حيث:

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

مثال: إذا كانت $f(x) = \sin(x^2)$، فإن:

$$\frac{d}{dx} (\sin(x^2)) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2)$$

4. مشتقات الدوال المثلثية

• $\frac{d}{dx} (\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$
• $\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x$
• $\frac{d}{dx} (\cot x) = -\csc^2 x$
• $\frac{d}{dx} (\sec x) = \sec x \tan x$
• $\frac{d}{dx} (\csc x) = -\csc x \cot x$

مثال:

$$\frac{d}{dx} (\tan(3x)) = 3\sec^2(3x)$$

5. مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية

• $\frac{d}{dx} (e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln a$
• $\frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$
• $\frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a}$

مثال:

$$\frac{d}{dx} (\ln(x^2 + 1)) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

6. مشتقات الدوال العكسية

• $\frac{d}{dx} (\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}$
• $\frac{d}{dx} (\cos^{-1} x) = \frac{-1}{\sqrt{1 – x^2}}$
• $\frac{d}{dx} (\tan^{-1} x) = \frac{1}{1 + x^2}$

مثال:

$$\frac{d}{dx} (\tan^{-1}(x^2)) = \frac{2x}{1 + x^4}$$

ملخص

• استخدم قاعدة القوة لاشتقاق التراكيب البسيطة مثل $x^n$.
• استخدم قاعدة الجمع والطرح عند وجود عدة حدود في الدالة.
• استخدم قاعدة الضرب عند وجود حاصل ضرب دالتين.
• استخدم قاعدة القسمة عندما تكون الدالة كسرية.
• استخدم قاعدة السلسلة عندما تكون الدالة مركبة.
• احفظ مشتقات الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية لاستخدامها عند الحاجة.

إذا كنت بحاجة إلى مزيد من التوضيح أو أمثلة إضافية، لا تتردد في السؤال! 😊