محاضرة 6 / النوع الأول مساحات والحجوم

فيما يلي شرح تفصيلي لموضوع المعادلات المرتبطة بالزمن (المعادلات الزمنية) مع استخدام المشتقات الرياضية (التفاضل):

أولًا: مفهوم المعادلات المرتبطة بالزمن رياضيًا:

هي معادلات رياضية تربط بين متغير فيزيائي أو أكثر مع الزمن. ويظهر في هذه المعادلات الزمن كمتغير مستقل. يتم التعبير عن هذه العلاقة عادةً باستخدام المشتقات (التفاضل والتكامل).

على سبيل المثال:

إذا كانت لدينا دالة تصف موقع جسم متحرك مع الزمن $x(t)$، فإن:

• السرعة (v) تكون المشتقة الأولى للدالة $x(t)$ بالنسبة للزمن.
• التسارع (a) يكون المشتقة الثانية للدالة $x(t)$ بالنسبة للزمن.

ثانيًا: التعبير عن المعادلات الزمنية باستخدام المشتقات:

لنأخذ متغير الموقع (الإزاحة) $x(t)$:

1- السرعة اللحظية (Instantaneous Velocity):

السرعة اللحظية هي معدل تغير الإزاحة بالنسبة للزمن، وتعطى بالعلاقة:

$$v(t) = \frac{dx}{dt}$$

بمعنى أن السرعة هي المشتقة الأولى لمعادلة الإزاحة بالنسبة للزمن.

2- التسارع اللحظي (Instantaneous Acceleration):

التسارع اللحظي هو معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن (أي المشتقة الثانية للإزاحة):

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}$$

إذًا، التسارع هو المشتقة الثانية لمعادلة الإزاحة.

ثالثًا: خطوات حل المعادلات الزمنية باستخدام المشتقات:

عند وجود مسألة تتعلق بالزمن وتطلب الحل بواسطة المشتقات الرياضية، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة (1): تحديد المعطيات والمطلوب

• اكتب الدالة التي تربط بين الموقع والزمن أو التي تصف تغير الكمية الفيزيائية مع الزمن بوضوح.
• حدد المطلوب: هل هو سرعة، تسارع، أم كمية أخرى؟

الخطوة (2): حساب المشتقة الأولى للدالة (لإيجاد السرعة)

• استخدم قواعد الاشتقاق لإيجاد السرعة اللحظية.

$$v(t) = \frac{dx}{dt}$$

الخطوة (3): حساب المشتقة الثانية (لإيجاد التسارع)

• اشتق السرعة مرة أخرى بالنسبة للزمن لإيجاد التسارع:

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2 x}{dt^2}$$

الخطوة (4): التعويض بالقيم (إن وُجدت)

• بعد إيجاد المشتقات (السرعة والتسارع)، عوض بقيمة الزمن المطلوبة في المسألة لإيجاد النتيجة العددية.

الخطوة (5): التحقق ومراجعة الحل

• تأكد من دقة الاشتقاق والتعويض، وتحقق من صحة الوحدات ومنطقية النتائج.

مثال تطبيقي (توضيحي):

المثال: لنفترض أن موضع جسم متحرك يُعطى بالدالة التالية:

$$x(t) = 4t^3 – 3t^2 + 2t + 1$$

اوجد السرعة والتسارع اللحظيين عند اللحظة $t = 2$.

الحل بالتفصيل:

(1) تحديد الدالة:

$$x(t) = 4t^3 – 3t^2 + 2t + 1$$

(2) إيجاد السرعة اللحظية (المشتقة الأولى):

$$v(t) = \frac{dx}{dt} = 12t^2 – 6t + 2$$

الآن، نعوض الزمن $t = 2$:

$$v(2) = 12(2)^2 – 6(2) + 2$$ $$v(2) = 48 – 12 + 2 = 38 \quad \text{m/s (مثلًا)}$$

(3) إيجاد التسارع اللحظي (المشتقة الثانية):

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = 24t – 6$$

نعوض بالزمن $t = 2$:

$$a(2) = 24(2) – 6$$ $$a(2) = 48 – 6 = 42 \quad \text{m/s² (مثلًا)}$$

(4) النتائج:

• السرعة اللحظية عند $t = 2$ هي $38$ وحدة سرعة.
• التسارع اللحظي عند $t = 2$ هو $42$ وحدة تسارع.

الخلاصة النهائية:

• المعادلات المرتبطة بالزمن هي معادلات تربط كميات فيزيائية مع الزمن، يتم التعبير عنها غالبًا بالمشتقات الرياضية.
• السرعة هي المشتقة الأولى لمعادلة الموضع.
• التسارع هو المشتقة الثانية لمعادلة الموضع (المشتقة الأولى للسرعة).

بهذا نكون قد شرحنا بالتفصيل مفهوم المعادلات المرتبطة بالزمن (المعادلات الزمنية) وكيفية التعامل معها وحلها باستخدام المشتقات الرياضية.

سؤال وزاري

صفيحة مستطيلة من المعدن مساحتها تساوي (96cm²)
يتمدد طولها بمعدل (5cm/s) بحيث تبقى مساحتها ثابتة.
جد معدل النقصان في عرضها وذلك عندما يكون عرضها (8cm).

لإيجاد الحل، اتبع الخطوات التالية:

الخطوة الأولى:

حدد المعطيات:

• مساحة الصفيحة ثابتة وتساوي $96\,cm^2$.
• يتمدد الطول بمعدل $\frac{dx}{dt} = 5\,cm/s$.
• العرض الحالي $y = 8\,cm$.

الخطوة الثانية:

العلاقة بين الطول $x$ والعرض $y$:

$$xy = 96$$

الخطوة الثالثة:

اشتق الطرفين بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{d}{dt}(xy) = \frac{d}{dt}(96)$$

ينتج لدينا:

$$x \frac{dy}{dt} + y \frac{dx}{dt} = 0$$

الخطوة الرابعة:

نجد الطول الحالي عند $y=8\,cm$:

$$x \times 8 = 96 \quad \Rightarrow \quad x = 12\,cm$$

الخطوة الخامسة:

نعوض القيم في المعادلة الناتجة من الاشتقاق:

$$(12)\frac{dy}{dt} + (8)(5) = 0$$

الحل النهائي:

$$12 \frac{dy}{dt} + 40 = 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dt} = -\frac{40}{12} = -\frac{10}{3}\,cm/s$$

الإجابة: معدل النقصان في العرض يساوي:

$$-\frac{10}{3}cm\mathrm{/}s$$

سؤال وزاري

صفيحة مستطيلة من المعدن مساحتها تساوي (96cm²)
يتمدد عرضها بمعدل (9cm/s) بحيث تبقى مساحتها ثابتة.
جد معدل تغير في الطول وذلك عندما يكون طولها (12cm).

لإيجاد الحل، اتبع الخطوات التالية:

الخطوة الأولى: تحديد المعطيات:

• مساحة الصفيحة ثابتة وتساوي $96\,cm^2$.
• يتمدد العرض بمعدل $\frac{dy}{dt} = 9\,cm/s$.
• الطول الحالي $x = 12\,cm$.

الخطوة الثانية: العلاقة بين الطول $x$ والعرض $y$:

$$x y = 96$$

الخطوة الثالثة: اشتق العلاقة بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{d}{dt}(x y) = \frac{d}{dt}(96)$$

وبالتالي:

$$x\frac{dy}{dt} + y\frac{dx}{dt} = 0$$

الخطوة الرابعة: إيجاد قيمة $y$ عند $x = 12\,cm$:

$$12 \times y = 96 \quad \Rightarrow \quad y = 8\,cm$$

الخطوة الخامسة: تعويض القيم في المعادلة لإيجاد معدل تغير الطول ($\frac{dx}{dt}$):

$$(12)(9) + (8)\frac{dx}{dt} = 0$$ $$108 + 8\frac{dx}{dt} = 0$$

ومنها:

$$8\frac{dx}{dt} = -108$$ $$\frac{dx}{dt} = -\frac{108}{8} = -\frac{27}{2}\,cm/s$$

الحل النهائي:

معدل تغير الطول هو:

$$-\frac{27}{2}\,cm/s$$

السالب يعني أن الطول يتناقص.

$$-\frac{10}{3}\,cm/s$$