محاضرة 7 / النوع الأول مساحات والحجوم

اسطوانة دائرية قائمة يزداد ارتفاعها بمعدل (0.5 cm/s)، بحيث حجمها دائماً يساوي (320π cm³)، جد معدل تغيّر نصف قطر قاعدتها عندما يكون ارتفاعها (5 cm).

الحل:

نحل المسألة خطوة بخطوة:

أولاً: كتابة المعطيات:

• حجم الاسطوانة ثابت:

$$V = \pi r^2 h = 320\pi \quad cm^3$$

• الارتفاع الحالي $h = 5\,cm$.
• معدل تغيّر الارتفاع:

$$\frac{dh}{dt} = 0.5\,cm/s$$

ثانيًا: إيجاد العلاقة بين المتغيرات:

بما أن الحجم ثابت (لا يتغير):

$$\pi r^2 h = 320\pi$$

نختصر $\pi$:

$$r^2 h = 320$$

ثالثًا: اشتقاق العلاقة بالنسبة للزمن $t$:

$$r^2 h = 320$$

نشتق الطرفين بالنسبة لـ $t$:

$$2r\frac{dr}{dt}h + r^2\frac{dh}{dt} = 0$$

رابعًا: إيجاد نصف القطر $r$ عندما $h = 5\,cm$:

نعوض قيمة $h$:

$$r^2 \cdot 5 = 320 \quad \Rightarrow \quad r^2 = \frac{320}{5} = 64$$

إذن نصف القطر الحالي:

$$r = \sqrt{64} = 8\,cm$$

خامسًا: حساب معدل تغيّر نصف القطر ($\frac{dr}{dt}$):

نعوض القيم في المعادلة المشتقة:

$$2r\frac{dr}{dt}h + r^2\frac{dh}{dt} = 0$$

بالتعويض:

$$2 \cdot 8 \cdot \frac{dr}{dt} \cdot 5 + 64 \cdot 0.5 = 0$$

تبسيط المعادلة:

$$80\frac{dr}{dt} + 32 = 0$$

ننقل 32 للطرف الآخر:

$$80\frac{dr}{dt} = -32$$

نقسم الطرفين على 80:

$$\frac{dr}{dt} = -\frac{32}{80} = -\frac{2}{5}\quad cm/s$$

إذًا، النتيجة النهائية هي:

$$\boxed{\frac{dr}{dt} = -\frac{2}{5}\quad cm/s}$$

الإشارة السالبة تعني أن نصف القطر يتناقص.