محاضرة 9 / النوع الأول مساحات والحجوم

بالون كروي مملوء بالغاز فيتسرب منه الغاز، فإذا كان معدل نقصان نصف قطره يساوي $\frac{7}{99} \, cm/s$ بحيث يحافظ على شكله الكروي:

جـد:
أ) معدل نقصان في حجمه.
ب) معدل نقصان المساحة السطحية عند ما يكون نصف القطر $10\,cm$.

إليك الحل بوضوح (مع استخدام معدل النقصان الصحيح $\frac{7}{22}\, cm/s$):

المعطيات:

$$\frac{dr}{dt} = -\frac{7}{22}\,cm/s$$

(أ) إيجاد معدل نقصان الحجم:

حجم الكرة $V$:

$$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$

بالتفاضل بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

بالتعويض بمعدل نقصان نصف القطر:

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \left(-\frac{7}{22}\right) = -\frac{28\pi r^2}{22} = -\frac{14\pi r^2}{11}\quad cm^3/s$$

إذن معدل نقصان الحجم هو:

$$\frac{dV}{dt} = -\frac{14\pi r^2}{11}\quad cm^3/s$$

(ب) إيجاد معدل نقصان المساحة السطحية عند $r = 10\,cm$:

المساحة السطحية للكرة $A$:

$$A = 4\pi r^2$$

بالتفاضل بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{dA}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$$

عند $r = 10\,cm$:

$$\frac{dA}{dt} = 8\pi (10)\left(-\frac{7}{22}\right) = -\frac{560\pi}{22} = -\frac{280\pi}{11}\quad cm^2/s$$

إذن معدل نقصان المساحة السطحية عند نصف القطر 10 سم هو:

$$\frac{dA}{dt} = -\frac{280\pi}{11}\quad cm^2/s$$

النتيجة النهائية للحل:

• معدل نقصان الحجم:

$$\frac{dV}{dt} = -\frac{14\pi r^2}{11}\quad cm^3/s$$

• معدل نقصان المساحة السطحية عند $r=10\,cm$:

$$\frac{dA}{dt} = -\frac{280\pi}{11}\quad cm^2/s$$