مشتقات الدوال اللوغاريتمية والأسية / محاضرة 25

الرياضيات للصف السادس العلمي مشتقات الدوال اللوغاريتمية والأسية / محاضرة 25

 

مراجعة و حلول اسئلة حول موضوع مشتقات الدوال اللوغاريتمية والأسية

 

الدالة المعطاة هي:

y=ln⁡(3x)y = \ln(3x)

إيجاد المشتقة

نستخدم قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

ddxln⁡g(x)=g′(x)g(x)\frac{d}{dx} \ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}

حيث g(x)=3xg(x) = 3x، فنحسب مشتقتها:

g′(x)=3g'(x) = 3

وبالتالي:

y′=33x=1xy’ = \frac{3}{3x} = \frac{1}{x}

النتيجة النهائية:

ddxln⁡(3x)=1x\frac{d}{dx} \ln(3x) = \frac{1}{x}

الدالة المعطاة هي:

y=ln⁡(x3)y = \ln\left(\frac{x}{3}\right)

تبسيط الدالة

باستخدام خاصية اللوغاريتمات:

ln⁡(x3)=ln⁡x−ln⁡3\ln\left(\frac{x}{3}\right) = \ln x – \ln 3

بما أن ln⁡3\ln 3 هو ثابت، فإن مشتقته تساوي صفرًا، وبالتالي يصبح لدينا:

y=ln⁡x−ln⁡3y = \ln x – \ln 3

إيجاد المشتقة

نشتق باستخدام قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}

وبما أن ln⁡3\ln 3 ثابت، فمشتقته صفر، إذن:

y′=1xy’ = \frac{1}{x}

النتيجة النهائية:

ddxln⁡(x3)=1x\frac{d}{dx} \ln\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{x}

الدالة المعطاة هي:

y=ln⁡(x2)y = \ln(x^2)

تبسيط الدالة

باستخدام خاصية اللوغاريتمات:

ln⁡(xa)=aln⁡x\ln(x^a) = a \ln x

نحصل على:

y=2ln⁡xy = 2 \ln x

إيجاد المشتقة

نشتق باستخدام قاعدة اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي:

ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}

إذن:

y′=2⋅1x=2xy’ = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}

النتيجة النهائية:

ddxln⁡(x2)=2x\frac{d}{dx} \ln(x^2) = \frac{2}{x}

المعادلة المعطاة هي:

y=ln⁡x2y = \ln{x^2}

لإيجاد المشتقة dydx\frac{dy}{dx}، نستخدم خاصية اللوغاريتمات:

ln⁡x2=2ln⁡x\ln{x^2} = 2\ln{x}

الآن نشتق الطرفين بالنسبة إلى xx:

dydx=2⋅1x\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{x}

وبالتالي، تكون المشتقة:

dydx=2x\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x}

المعادلة المعطاة هي:

y=(ln⁡x)2y = (\ln x)^2

لإيجاد المشتقة dydx\frac{dy}{dx}، نستخدم قاعدة السلسلة. نعيد كتابة المعادلة بشكل واضح:

y=u2y = u^2

حيث u=ln⁡xu = \ln x، ثم نشتق باستخدام قاعدة السلسلة:

dydx=2u⋅dudx\frac{dy}{dx} = 2u \cdot \frac{du}{dx}

وبما أن:

dudx=1x\frac{du}{dx} = \frac{1}{x}

نستبدل القيم:

dydx=2(ln⁡x)⋅1x\frac{dy}{dx} = 2 (\ln x) \cdot \frac{1}{x}

إذن المشتقة النهائية:

dydx=2ln⁡xx\frac{dy}{dx} = \frac{2 \ln x}{x}

المعادلة المعطاة هي:

y=ln⁡(1x)3y = \ln{\left(\frac{1}{x}\right)^3}

الخطوة 1: استخدام خصائص اللوغاريتمات

نستخدم خاصية اللوغاريتم:

ln⁡ab=bln⁡a\ln a^b = b \ln a

وبالتالي:

y=3ln⁡(1x)y = 3 \ln{\left(\frac{1}{x}\right)}

وبما أن:

ln⁡(1x)=ln⁡1−ln⁡x=−ln⁡x\ln{\left(\frac{1}{x}\right)} = \ln{1} – \ln{x} = -\ln{x}

فإن:

y=3(−ln⁡x)=−3ln⁡xy = 3(-\ln x) = -3 \ln x

الخطوة 2: إيجاد المشتقة

نشتق الدالة باستخدام قاعدة الاشتقاق:

dydx=−3⋅1x\frac{dy}{dx} = -3 \cdot \frac{1}{x}

النتيجة النهائية:

dydx=−3x\frac{dy}{dx} = \frac{-3}{x}

المعادلة المعطاة هي:

y=ln⁡(2−cos⁡x)y = \ln(2 – \cos x)

إيجاد المشتقة dydx\frac{dy}{dx}

نستخدم قاعدة الاشتقاق للدالة اللوغاريتمية:

ddxln⁡u=1u⋅dudx\frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}

حيث u=2−cos⁡xu = 2 – \cos x. الآن نشتق uu:

dudx=−(−sin⁡x)=sin⁡x\frac{du}{dx} = -(-\sin x) = \sin x

الآن نطبق القاعدة:

dydx=12−cos⁡x⋅sin⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 – \cos x} \cdot \sin x

النتيجة النهائية:

dydx=sin⁡x2−cos⁡x\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{2 – \cos x}

المعادلة المعطاة هي:

y=e−5x2+3x+5y = e^{-5x^2 + 3x + 5}

إيجاد المشتقة dydx\frac{dy}{dx}

نستخدم قاعدة السلسلة:

ddxeu=eu⋅dudx\frac{d}{dx} e^u = e^u \cdot \frac{du}{dx}

حيث u=−5x2+3x+5u = -5x^2 + 3x + 5. الآن نشتق uu:

dudx=−10x+3\frac{du}{dx} = -10x + 3

الآن نطبق القاعدة:

dydx=e−5x2+3x+5⋅(−10x+3)\frac{dy}{dx} = e^{-5x^2 + 3x + 5} \cdot (-10x + 3)

النتيجة النهائية:

dydx=(−10x+3)e−5x2+3x+5\frac{dy}{dx} = (-10x + 3) e^{-5x^2 + 3x + 5}

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي