اشتقاقات الفصل الثاني – فيزياء السادس الاعدادي

الفيزياء للصف السادس العلمي اشتقاقات الفصل الثاني – فيزياء السادس الاعدادي

 

السؤال:

أثبت رياضياً أن القدرة المكتسبة تساوي القدرة المبددة؟
أثبت أن مبدأ الحثّ لا يتعارض مع قانون حفظ الطاقة؟

الحل:

أولاً: إثبات أن القدرة المكتسبة = القدرة المبددة

في حالة ثبوت التيار في دائرة تحتوي على مقاومة RR ومصدر جهد VV:

  • القدرة المكتسبة (من المصدر):

Pin=V⋅IP_{\text{in}} = V \cdot I

  • القدرة المبددة (بواسطة المقاومة):

Pout=I2⋅RP_{\text{out}} = I^2 \cdot R

من قانون أوم: V=I⋅RV = I \cdot R

إذًا:

Pin=V⋅I=(I⋅R)⋅I=I2⋅R=PoutP_{\text{in}} = V \cdot I = (I \cdot R) \cdot I = I^2 \cdot R = P_{\text{out}}

✅ إذًا: القدرة المكتسبة = القدرة المبددة ✅

ثانياً: إثبات أن الحث لا يتعارض مع قانون حفظ الطاقة

في حالة وجود ملف في الدائرة:

  • عند تغير التيار، يظهر تيار حثّي معاكس يولد قوة دافعة حثية (حسب قانون لنز) تعاكس هذا التغير.
  • القدرة المكتسبة من المصدر:

Pالمصدر=V⋅IP_{\text{المصدر}} = V \cdot I

  • هذه القدرة تتوزع إلى:
  1. جزء يُخزن في الملف على شكل طاقة مغناطيسية:

    E=12LI2E = \frac{1}{2} L I^2

  2. جزء يُبدد على شكل حرارة في المقاومة:

    P=I2⋅RP = I^2 \cdot R

إذًا الطاقة محفوظة ولم تضيع، بل تحولت إلى أشكال أخرى (حرارية + مخزنة).

✅ الاستنتاج: مبدأ الحث يتوافق مع قانون حفظ الطاقة.

 

السؤال:

اشتق العلاقة الرياضية لحساب القوة الدافعة الكهربائية الحركية

Emot\mathcal{E}_{\text{mot}}

الحل: اشتقاق العلاقة الرياضية للقوة الدافعة الكهربائية الحركية

المبدأ الفيزيائي:

القوة الدافعة الكهربائية الحركية (EMF) تتولد عندما يتحرك موصل في مجال مغناطيسي منتظم بشكل يقطع خطوط الفيض المغناطيسي.

الاشتقاق:

نفترض أن لدينا سلك طوله ll يتحرك بسرعة ثابتة vv عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم شدته BB:

  • الفيض المغناطيسي المقطوع خلال زمن tt هو:

    Φ=B⋅A=B⋅(l⋅x)حيثx=v⋅t\Phi = B \cdot A = B \cdot (l \cdot x) \quad \text{حيث} \quad x = v \cdot t

  • باستخدام قانون فاراداي للحث:

    Emot=∣dΦdt∣=∣ddt(B⋅l⋅x)∣\mathcal{E}_{\text{mot}} = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right| = \left| \frac{d}{dt}(B \cdot l \cdot x) \right|

  • لأن BB و ll ثابتان:

    Emot=B⋅l⋅dxdt=B⋅l⋅v\mathcal{E}_{\text{mot}} = B \cdot l \cdot \frac{dx}{dt} = B \cdot l \cdot v

العلاقة النهائية:

Emot=B⋅l⋅v\boxed{ \mathcal{E}_{\text{mot}} = B \cdot l \cdot v }

الرموز:

  • Emot\mathcal{E}_{\text{mot}}: القوة الدافعة الكهربائية الحركية (فولت)
  • BB: شدة المجال المغناطيسي (تسلا)
  • ll: طول الموصل (متر)
  • vv: السرعة العمودية للموصل (متر/ثانية)

 

السؤال:

عند دوران ملف مساحته AA بسرعة زاوية ω\omega داخل مجال مغناطيسي كثافته BB، فإذا كان الفيض يعبر بشكل دائم بزاوية θ\theta، وكان اتجاه الفيض:

ΦB=ABcos⁡(θ)\Phi_B = A B \cos(\theta)

فأثبت رياضياً أن القوة الدافعة الكهربائية المستحثة (الحث المتناوب) هي:

Eind=NABωsin⁡(ωt)E_{\text{ind}} = N A B \omega \sin(\omega t)

الحل:

المعطى:

  • عدد لفات الملف: NN
  • المساحة: AA
  • المجال المغناطيسي: BB
  • السرعة الزاوية: ω\omega
  • الزاوية: θ=ωt\theta = \omega t (لأن الزاوية تتغير زمنياً أثناء الدوران)

الخطوات:

  1. الفيض المغناطيسي المار بالملف:

ΦB=B⋅A⋅cos⁡(θ)=BAcos⁡(ωt)\Phi_B = B \cdot A \cdot \cos(\theta) = B A \cos(\omega t)

  1. القوة الدافعة الكهربائية المستحثة:

طبق قانون فاراداي:

Eind=−NdΦBdt=−Nddt(BAcos⁡(ωt))E_{\text{ind}} = -N \frac{d\Phi_B}{dt} = -N \frac{d}{dt}(B A \cos(\omega t))

  1. مشتقة الدالة:

Eind=−NBA⋅(−ωsin⁡(ωt))E_{\text{ind}} = -N B A \cdot (-\omega \sin(\omega t))

  1. إعادة الترتيب:

Eind=NABωsin⁡(ωt)E_{\text{ind}} = N A B \omega \sin(\omega t)

✅ النتيجة النهائية:

Eind=NABωsin⁡(ωt)\boxed{ E_{\text{ind}} = N A B \omega \sin(\omega t) }

 

السؤال:

س/ اشتق علاقة حساب القوة الدافعة الكهربائية الناتجة عن الحث الذاتي؟

الحل:

تعريف الحث الذاتي:

هو تولد قوة دافعة كهربائية في نفس الموصل عند تغير التيار المار فيه، نتيجة لتغير الفيض المغناطيسي الناشئ عنه.

1. الفيض المغناطيسي الناتج عن التيار:

ΦB=L⋅I\Phi_B = L \cdot I

  • LL: معامل الحث الذاتي (H)
  • II: شدة التيار (A)

2. قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي:

القوة الدافعة الكهربائية المستحثة:

Eind=−dΦBdtE_{\text{ind}} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

3. اشتقاق العلاقة النهائية:

بالتعويض:

Eind=−ddt(L⋅I)E_{\text{ind}} = -\frac{d}{dt}(L \cdot I)

بما أن LL ثابت:

Eind=−L⋅dIdtE_{\text{ind}} = -L \cdot \frac{dI}{dt}

✅ العلاقة النهائية:

Eind=−L⋅dIdt\boxed{ E_{\text{ind}} = -L \cdot \frac{dI}{dt} }

—

شرح الرموز:

  • EindE_{\text{ind}}: القوة الدافعة الكهربائية المستحثة (V)
  • LL: معامل الحث الذاتي (H)
  • dIdt\frac{dI}{dt}: المعدل الزمني لتغير التيار

 

السؤال:

س/ اشتق علاقة لحساب القوة الدافعة الكهربائية المحثَّثة على طرفي الملف الثانوي؟

الحل:

المبدأ الفيزيائي:

عندما يتغير التيار في الملف الابتدائي، يتغير الفيض المغناطيسي الناتج عنه، وبالتالي يُحدث قوة دافعة كهربائية مستحثة في الملف الثانوي المجاور بسبب الحث المتبادل.

1. الفيض المغناطيسي المؤثر في الملف الثانوي:

ΦB=M⋅I1\Phi_B = M \cdot I_1

  • MM: معامل الحث المتبادل بين الملفين
  • I1I_1: التيار في الملف الابتدائي

2. القوة الدافعة الكهربائية المستحثة في الملف الثانوي:

حسب قانون فاراداي:

Eind2=−dΦBdt=−ddt(M⋅I1)E_{\text{ind2}} = – \frac{d\Phi_B}{dt} = – \frac{d}{dt}(M \cdot I_1)

  • إذا كان MM ثابتًا:

Eind2=−M⋅dI1dtE_{\text{ind2}} = -M \cdot \frac{dI_1}{dt}

✅ العلاقة النهائية:

Eind2=−M⋅dI1dt\boxed{ E_{\text{ind2}} = -M \cdot \frac{dI_1}{dt} }

شرح الرموز:

  • Eind2E_{\text{ind2}}: القوة الدافعة الكهربائية المحثوثة في الملف الثانوي (V)
  • MM: معامل الحث المتبادل (H)
  • dI1dt\frac{dI_1}{dt}: المعدل الزمني لتغير التيار في الملف الابتدائي
المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي