الاشتقاقات للفصل الاول – فيزياء السادس الاعدادي

🟥 السؤال:

س: أثبت أن السعة المكافئة لمجموعة متسعات مربوطة على التوازي تساوي حاصل جمع سعاتها؟

🟩 الحل:

✅ الفرضية:

لدينا مجموعة من المتسعات $C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$ موصولة على التوازي، ومتصل بها مصدر جهد $V$ ثابت.

✅ خصائص التوصيل على التوازي:

1. فرق الجهد عبر كل متسعة متساوي:

   $$V_1 = V_2 = V_3 = \ldots = V$$

2. الشحنة الكلية المخزنة:

   $$Q_{\text{total}} = Q_1 + Q_2 + Q_3 + \ldots + Q_n$$

✅ العلاقة بين الشحنة والسعة:

لكل متسعة:

$$Q_i = C_i \cdot V$$

إذًا:

$$Q_{\text{total}} = C_1 \cdot V + C_2 \cdot V + C_3 \cdot V + \ldots + C_n \cdot V$$

نأخذ $V$ عامل مشترك:

$$Q_{\text{total}} = V \cdot (C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n)$$

✅ التعريف:

نعرف السعة المكافئة $C_T$ بأنها:

$$Q_{\text{total}} = C_T \cdot V$$

بالمقارنة:

$$C_T \cdot V = V \cdot (C_1 + C_2 + \ldots + C_n)$$

نقسم الطرفين على $V$ (ما دام $V \neq 0$):

$$C_T = C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n$$

✅ النتيجة:

إذن، السعة المكافئة لمجموعة متسعات مربوطة على التوازي تساوي مجموع سعاتها.

$$\boxed{C_T = C_1 + C_2 + C_3 + \ldots + C_n}$$

🟥 السؤال:

س: أثبت أن مقلوب السعة المكافئة لمجموعة متسعات مربوطة على التوالي يساوي حاصل جمع مقلوب سعاتها؟

🟩 الحل:

✅ الفرضية:

لدينا مجموعة من المتسعات $C_1, C_2, C_3, \ldots, C_n$ موصولة على التوالي، ومتصل بها مصدر جهد $V$.

✅ خصائص التوصيل على التوالي:

1. الشحنة على كل متسعة متساوية:

   $$Q_1 = Q_2 = Q_3 = \ldots = Q$$

2. فرق الجهد الكلي يساوي مجموع فروق الجهد على المتسعات:

   $$V = V_1 + V_2 + V_3 + \ldots + V_n$$

✅ العلاقة بين الجهد والسعة:

لكل متسعة:

$$V_i = \frac{Q}{C_i}$$

إذًا:

$$V = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} + \frac{Q}{C_3} + \ldots + \frac{Q}{C_n}$$

نأخذ $Q$ عامل مشترك:

$$V = Q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n} \right)$$

✅ التعريف:

نعرف السعة المكافئة $C_T$ بأنها:

$$V = \frac{Q}{C_T}$$

بالمقارنة:

$$\frac{Q}{C_T} = Q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n} \right)$$

نقسم الطرفين على $Q$ (ما دام $Q \neq 0$):

$$\frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \ldots + \frac{1}{C_n}$$

✅ النتيجة:

إذن، مقلوب السعة المكافئة لمجموعة متسعات موصولة على التوالي يساوي مجموع مقلوبات السعات:

$$\boxed{ \frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \ldots + \frac{1}{C_n} }$$

🟥 السؤال:

س: ارجع الفاراد إلى الوحدات الأساسية حسب النظام العالمي للوحدات (SI)؟

🟩 الحل:

نعلم أن وحدة السعة الكهربائية هي الفاراد (Farad)، وتُعرف بالعلاقة:

$$C = \frac{Q}{V}$$

حيث:

• $C$: السعة (بالفاراد F)
• $Q$: الشحنة الكهربائية (بالكولوم C)
• $V$: فرق الجهد (بالفولت V)

✅ نحلل الوحدات:

• الشحنة (كولوم) = أمبير × ثانية

  $$1C = 1A \cdot s$$

• الفولت = جول / كولوم
  والجول = نيوتن × متر
  والنيوتن = كغم × م / ث²

إذن:

$$1V = \frac{J}{C} = \frac{kg \cdot m^2}{s^3 \cdot A}$$

✅ نعوّض في علاقة السعة:

$$1F = \frac{C}{V} = \frac{A \cdot s}{\frac{kg \cdot m^2}{s^3 \cdot A}} = \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^2}$$

✅ الإجابة النهائية:

$$\boxed{1F = \frac{A^2 \cdot s^4}{kg \cdot m^2}}$$

وهذه هي الوحدات الأساسية للفاراد في النظام العالمي للوحدات (SI).