اشتقاقات الفصل الثالث – فيزياء السادس العلمي

💡 تعريف المقدار المؤثر (الفعال) للتيار:

المقدار المؤثر (أو الفعال) للتيار المتناوب هو التيار المستمر المكافئ له في التأثير الحراري. أي: هو التيار المستمر الذي يولد نفس القدرة الحرارية التي يولدها التيار المتناوب في مقاومة خلال نفس الزمن.

✅ اشتقاق العلاقة:

لنفرض أن التيار المتناوب يتغير حسب العلاقة:

$$i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)$$

حيث:

• $i(t)$: التيار اللحظي
• $I_{\text{max}}$: القيمة العظمى (أو السعة) للتيار
• $\omega$: التردد الزاوي
• $t$: الزمن

1. القدرة اللحظية:

القدرة اللحظية على مقاومة $R$:

$$P(t) = i^2(t) \cdot R = \left(I_{\text{max}} \sin(\omega t)\right)^2 \cdot R = I_{\text{max}}^2 \sin^2(\omega t) \cdot R$$

2. القدرة المتوسطة خلال دورة كاملة:

المتوسط الدوري للدالة $\sin^2(\omega t)$ هو:

$$\langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}$$

إذًا:

$$P_{\text{avg}} = I_{\text{max}}^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot R = \frac{I_{\text{max}}^2}{2} \cdot R$$

3. قارنها مع القدرة الناتجة عن تيار مستمر:

لو مر تيار مستمر $I_{\text{rms}}$ في نفس المقاومة، فإن القدرة تكون:

$$P = I_{\text{rms}}^2 \cdot R$$

ومن التساوي:

$$I_{\text{rms}}^2 \cdot R = \frac{I_{\text{max}}^2}{2} \cdot R$$

بإلغاء $R$:

$$I_{\text{rms}}^2 = \frac{I_{\text{max}}^2}{2} \Rightarrow I_{\text{rms}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$$

✅ العلاقة المطلوبة:

$$\boxed{I_{\text{rms}} = \frac{I_{\text{max}}}{\sqrt{2}}}$$

ويسمى $I_{\text{rms}}$ التيار المؤثر أو الفعال.

🧠 ملاحظات مهمة للطلبة:

• نفس العلاقة تنطبق على الجهد المتناوب:

  $$V_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{max}}}{\sqrt{2}}$$

• الأجهزة الكهربائية غالبًا تُصمم وتُقاس حسب القيمة الفعالة للتيار أو الجهد (وليس العظمى).

💡 ما هي رادة الحث؟

رادة الحث (الممانعة الحثية) هي الممانعة التي يُبديها الملف (الملف الحثي) تجاه مرور التيار المتناوب بسبب تغير التيار مع الزمن، وهي تختلف عن المقاومة التي تبديها المواد ضد التيار المستمر.

✅ العلاقة الرياضية لرادة الحث:

رادة الحث تعطى بالعلاقة:

$$X_L = 2\pi f L$$

حيث:

• $X_L$: رادة الحث (بوحدة الأوم Ω)
• $f$: التردد (بوحدة الهرتز Hz = 1/s)
• $L$: معامل الحث الذاتي (بوحدة هنري H)

✅ اشتقاق وحدة رادة الحث:

نبدأ من:

$$X_L = 2\pi f L$$

نهمل الثابت $2\pi$ (لأنه بلا وحدة) ونركّز على الوحدات:

$$[X_L] = [f] \cdot [L]$$

نعرف أن:

• $[f] = \text{Hz} = \frac{1}{\text{s}}$
• $[L] = \text{H}$ (هنري)

إذًا:

$$[X_L] = \frac{1}{\text{s}} \cdot \text{H} = \text{Ω} \quad \text{(لأن رادة الحث تقاس بالأوم)}$$

✅ لكن ما هي وحدة الـ هنري؟

من قانون الحث:

$$\text{EMF} = -L \frac{dI}{dt} \Rightarrow L = \frac{\text{EMF}}{dI/dt}$$

• وحدة القوة الدافعة الكهربائية (EMF): فولت (V)
• وحدة التيار: أمبير (A)
• وحدة الزمن: ثانية (s)

إذًا:

$$[L] = \frac{V}{A/s} = \frac{V \cdot s}{A} \Rightarrow \boxed{1\,\text{H} = \frac{V \cdot s}{A}}$$

✅ أخيرًا: وحدة رادة الحث (X_L):

$$X_L = 2\pi f L \Rightarrow \text{وحدة} = \frac{1}{s} \cdot \frac{V \cdot s}{A} = \frac{V}{A} = \boxed{\Omega}$$

📌 النتيجة النهائية:

$$\boxed{وحدة رادة الحث هي: \ \Omega \ \text{(الأوم)}}$$

ويمكن اشتقاقها من:

$$\Omega = \frac{V}{A} = \frac{\text{Volt}}{\text{Ampere}}$$

💡 أولًا: ما هي رادة السعة؟

رادة السعة (الممانعة السعوية) هي الممانعة التي تبديها المتسعة (المكثف) تجاه مرور التيار المتناوب، وتتناقص كلما زاد التردد أو زادت السعة.

✅ العلاقة الرياضية لرادة السعة:

$$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$$

حيث:

• $X_C$: رادة السعة (بوحدة الأوم $\Omega$)
• $f$: التردد (بوحدة هرتز Hz = 1/s)
• $C$: السعة الكهربائية (بوحدة فاراد F)

✅ اشتقاق وحدة رادة السعة:

نركز على الوحدات فقط في المعادلة:

$$[X_C] = \frac{1}{2\pi \cdot f \cdot C}$$

نهمل الثابت $2\pi$ لأنه بدون وحدة، فيصبح:

$$[X_C] = \frac{1}{f \cdot C}$$

نستخدم:

• وحدة التردد:

  $$[f] = \text{Hz} = \frac{1}{\text{s}}$$

• وحدة السعة (الفاراد):

  $$[C] = \text{F} = \frac{\text{s}}{\Omega} \quad \text{← سنثبتها لاحقًا}$$

الآن:

$$X_C = \frac{1}{\frac{1}{\text{s}} \cdot \frac{\text{s}}{\Omega}} = \Omega$$

✅ إذًا: وحدة رادة السعة هي:

$$\boxed{\Omega \ (\text{أوم})}$$

✅ إثبات أن:

$$1\,F = \frac{s}{\Omega}$$

من العلاقة بين التيار والجهد في المتسعة:

$$I = C \cdot \frac{dV}{dt} \Rightarrow C = \frac{I}{dV/dt}$$

الوحدات:

• $I$: أمبير (A)
• $dV/dt$: فولت لكل ثانية = V/s

إذًا:

$$[C] = \frac{A}{V/s} = \frac{A \cdot s}{V}$$

ونعلم أن:

$$\frac{V}{A} = \Omega \Rightarrow \frac{A}{V} = \frac{1}{\Omega}$$

إذًا:

$$[C] = \frac{s}{\Omega} \Rightarrow \boxed{1\,F = \frac{s}{\Omega}}$$

📌 خلاصة:

• رادة السعة:

  $$X_C = \frac{1}{2\pi f C}$$

• وحدتها النهائية:

  $$\boxed{\Omega}$$

💡 الفكرة الأساسية:

في التيار المتناوب، تتغير القدرة اللحظية باستمرار مع الزمن، لذلك نستخدم القدرة المتوسطة (Pavg) بدلاً من القدرة اللحظية أو العظمى.

✅ 1. قانون القدرة اللحظية:

$$P(t) = v(t) \cdot i(t)$$

إذا كان:

• الجهد المتناوب: $v(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t)$
• التيار المتناوب: $i(t) = I_{\text{max}} \sin(\omega t)$

(في حالة وجود مقاومة فقط، يكون التيار والجهد بنفس الطور)

إذن:

$$P(t) = V_{\text{max}} \sin(\omega t) \cdot I_{\text{max}} \sin(\omega t) = V_{\text{max}} I_{\text{max}} \sin^2(\omega t)$$

✅ 2. تعريف القدرة العظمى:

$$P_{\text{max}} = V_{\text{max}} \cdot I_{\text{max}}$$

إذن:

$$P(t) = P_{\text{max}} \cdot \sin^2(\omega t)$$

✅ 3. إيجاد القدرة المتوسطة:

المتوسط الزمني للدالة $\sin^2(\omega t)$ خلال دورة كاملة هو:

$$\langle \sin^2(\omega t) \rangle = \frac{1}{2}$$

إذًا:

$$P_{\text{avg}} = P_{\text{max}} \cdot \frac{1}{2} = \boxed{\frac{1}{2} P_{\text{max}}}$$

✅ النتيجة النهائية:

$$\boxed{القدرة\ المتوسطة = \frac{1}{2} \times \text{القدرة العظمى}}$$

📌 مثال تطبيقي سريع:

إذا كانت:

• $V_{\text{max}} = 100\,V$
• $I_{\text{max}} = 10\,A$

فإن:

• $P_{\text{max}} = 100 \cdot 10 = 1000\,W$
• $P_{\text{avg}} = \frac{1}{2} \cdot 1000 = 500\,W$