مجموعة المسائل الثالثة – قوانين الحيود و محزز الحيود – الفيزياء

📘 الحيود (من شق واحد – مفرد)

✅ 1. قانون الحيود (عكس التداخل):

● للأهداب المضيئة (المناطق المضيئة):

$$\ell \sin \theta = (m + \tfrac{1}{2}) \lambda$$

● للأهداب المظلمة (المناطق المظلمة):

$$\ell \sin \theta = m \lambda$$

حيث:

• $\ell$: عرض الشق
• $\theta$: زاوية الحيود
• $\lambda$: الطول الموجي
• $m$: رتبة الهدب (0، 1، 2…)

📗 محزز الحيود (Grating):

✅ 2. قانون محزز الحيود:

● للمناطق المضيئة (تداخل بناء):

$$d \sin \theta = m \lambda$$

● للمناطق المظلمة (تداخل هدام):

$$d \sin \theta = (m + \tfrac{1}{2}) \lambda$$

حيث:

• $d$: المسافة بين الشقوق في المحزز
• $m$: رقم الرتبة (0، 1، 2…)
• ملاحظة:

$$d = \frac{1 \, \text{cm}}{N}$$

إذا عُلم عدد الشقوق $N$ في كل سنتيمتر.

🌐 3. العلاقة بين التردد والطول الموجي:

$$F = \frac{C}{\lambda}$$

حيث:

• $F$: التردد (Hz)
• $C = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}$: سرعة الضوء
• $\lambda$: الطول الموجي

✅ السؤال:

ضوء أحادي اللون من ليزر الهيليوم-نيون طوله الموجي
$\lambda = 632.8 \, \text{nm}$
يسقط عموديًا على محزّز حيود يحتوي كل سنتيمتر منه على
$6000 \, \text{line}$.

جد زاوية الحيود للمرتبة الأولى والثانية المضيئة، علمًا أن:

• $\sin(21.3^\circ) = 0.3796$
• $\sin(49^\circ) = 0.7592$

🧠 الحل:

1. نحسب المسافة بين الشقوق (d):

عدد الخطوط في كل سنتيمتر:

$$N = 6000 \, \text{line/cm} = 6 \times 10^5 \, \text{line/m}$$

المسافة بين كل شقين:

$$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{6 \times 10^5} = 1.6667 \times 10^{-6} \, \text{m}$$

2. قانون محزّز الحيود:

$$d \sin \theta = m \lambda$$

3. نحسب الزاوية لكل مرتبة:

▫️ المرتبة الأولى $m = 1$:

$$\sin \theta_1 = \frac{1 \cdot 632.8 \times 10^{-9}}{1.6667 \times 10^{-6}} = 0.3797$$

نقارنها بالقيم المعطاة:

$$\theta_1 \approx 21.3^\circ$$

▫️ المرتبة الثانية $m = 2$:

$$\sin \theta_2 = \frac{2 \cdot 632.8 \times 10^{-9}}{1.6667 \times 10^{-6}} = 0.7594$$

نقارنها بالقيم المعطاة:

$$\theta_2 \approx 49^\circ$$

✅ الإجابة النهائية:

• زاوية الحيود للمرتبة الأولى:

  $$\boxed{\theta_1 = 21.3^\circ}$$

• زاوية الحيود للمرتبة الثانية:

  $$\boxed{\theta_2 = 49^\circ}$$

✅ السؤال:

س/ كتاب: ضوء أبيض تتوزع مركبات طيفه بواسطة محزّز حيود،
فإذا كان للمحزّز $2000 \, \text{خط/سم}$،
فما قياس زاوية حيود المرتبة الأولى للضوء الأحمر الذي طوله الموجي
$\lambda = 640 \, \text{nm}$؟
علمًا أن:

$$\sin 7.5^\circ = 0.128$$

🧠 الحل:

الخطوة 1: تحويل عدد الخطوط إلى وحدة المتر

$$N = 2000 \, \text{line/cm} = 2 \times 10^5 \, \text{line/m}$$

إذًا:

$$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{2 \times 10^5} = 5 \times 10^{-6} \, \text{m}$$

الخطوة 2: قانون محزّز الحيود

$$d \sin \theta = m \lambda$$

نستخدم المرتبة الأولى $m = 1$:

$$\sin \theta = \frac{\lambda}{d} = \frac{640 \times 10^{-9}}{5 \times 10^{-6}} = 0.128$$

الخطوة 3: إيجاد الزاوية

من المعطى:

$$\sin 7.5^\circ = 0.128 \quad \Rightarrow \quad \theta = 7.5^\circ$$

✅ الإجابة النهائية:

$$\boxed{\theta = 7.5^\circ}$$

أي أن زاوية حيود المرتبة الأولى للضوء الأحمر هي 7.5 درجة.

✅ السؤال:

س1/ سقطت أشعة متوازية ذات طول موجي مقداره $\lambda = 650 \, \text{nm}$
على شق منفرد، فوقع الهدب المظلم من المرتبة الأولى على الشاشة بحيث تصنع الأشعة زاوية مقدارها $30^\circ$
مع المستقيم العمودي على الشق.

احسب عرض الشق.

🧠 الحل:

القانون المستخدم في الحيود لشق منفرد:

$$a \sin \theta = m \lambda$$

حيث:

• $a$: عرض الشق
• $\theta = 30^\circ$
• $m = 1$ (المرتبة الأولى)
• $\lambda = 650 \, \text{nm} = 650 \times 10^{-9} \, \text{m}$

التعويض:

$$a = \frac{m \lambda}{\sin \theta} = \frac{1 \cdot 650 \times 10^{-9}}{\sin 30^\circ} = \frac{650 \times 10^{-9}}{0.5} = 1.3 \times 10^{-6} \, \text{m}$$

✅ الإجابة النهائية:

$$\boxed{1.3 \, \mu\text{m}} \quad \text{أو} \quad \boxed{1.3 \times 10^{-6} \, \text{m}}$$

أي أن عرض الشق = 1.3 ميكرومتر.

✅ السؤال:

س2/ ما تردد الضوء الساقط على محزّز يحتوي على
$8000 \, \text{خط/سم}$
إذا كانت زاوية حيود الرتبة الثانية في الطيف الناتج تساوي
$53^\circ$؟
علمًا أن:

$$\sin(53^\circ) = 0.8$$

🧠 الحل:

1. نحسب المسافة بين الخطوط (d):

عدد الخطوط:

$$N = 8000 \, \text{line/cm} = 8 \times 10^5 \, \text{line/m}$$ $$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{8 \times 10^5} = 1.25 \times 10^{-6} \, \text{m}$$

2. قانون محزّز الحيود:

$$d \sin \theta = m \lambda$$

نستخدم:

• $d = 1.25 \times 10^{-6}$
• $\theta = 53^\circ$, إذًا $\sin \theta = 0.8$
• $m = 2$

$$\lambda = \frac{d \cdot \sin \theta}{m} = \frac{1.25 \times 10^{-6} \cdot 0.8}{2} = \frac{1 \times 10^{-6}}{2} = 5 \times 10^{-7} \, \text{m}$$

3. حساب التردد:

$$f = \frac{c}{\lambda} = \frac{3 \times 10^8}{5 \times 10^{-7}} = 6 \times 10^{14} \, \text{Hz}$$

✅ الإجابة النهائية:

$$\boxed{6 \times 10^{14} \, \text{Hz}}$$

أي أن تردد الضوء الساقط هو $6 \times 10^{14}$ هرتز.

✅ السؤال:

2020
ضوء أحادي اللون من ليزر هيليوم-نيون يسقط عموديًا على محزّز حيود طوله الموجي
$\lambda = 5000 \, \text{nm}$.
إذا كانت زاوية حيود الرتبة الثانية المضيئة هي
$\theta_2 = 30^\circ$،
جد زاوية حيود المرتبة الرابعة المضيئة.

🧠 الحل:

الخطوة 1: قانون محزّز الحيود

$$d \sin \theta = m \lambda$$

منه نستنتج أن:

$$\sin \theta \propto m \quad \text{(لأن } \lambda \text{ ثابت)}$$

الخطوة 2: إيجاد $\sin \theta_4$:

لدينا:

• $\theta_2 = 30^\circ \Rightarrow \sin \theta_2 = 0.5$
• نريد $\theta_4$

نستخدم النسبة:

$$\frac{\sin \theta_4}{\sin \theta_2} = \frac{4}{2} = 2 \Rightarrow \sin \theta_4 = 2 \cdot \sin 30^\circ = 2 \cdot 0.5 = 1$$

إذًا:

$$\sin \theta_4 = 1 \Rightarrow \theta_4 = 90^\circ$$

✅ الإجابة النهائية:

$$\boxed{\theta_4 = 90^\circ}$$

أي أن زاوية حيود المرتبة الرابعة = 90 درجة،
وهي أقصى زاوية يمكن أن يحدث عندها حيود (الحد النظري الأقصى).