اشكال ارجاند / محاضرة 25

أشكال أرغاند – التمثيل الهندسي للأعداد المركبة بيانياً

مقدمة: يُستخدم مخطط أرغاند لتمثيل الأعداد المركبة بطريقة هندسية على المستوى الديكارتي، حيث يُعرف أيضًا باسم المستوى المركب. في هذا التقرير، سنناقش كيفية تمثيل الأعداد المركبة بيانياً باستخدام هذا المخطط.

1. التعريف بمخطط أرغاند: مخطط أرغاند هو طريقة لتمثيل العدد المركب $z = a + bi$ في مستوى ثنائي الأبعاد، حيث:

• المحور الأفقي (المحور الحقيقي) يمثل الجزء الحقيقي $a$.
• المحور العمودي (المحور التخيلي) يمثل الجزء التخيلي $b$.

2. تمثيل العدد المركب على مخطط أرغاند: لتمثيل عدد مركب $z = a + bi$:

• نحدد النقطة $(a, b)$ على المستوى.
• يتم رسم متجه من نقطة الأصل $(0,0)$ إلى النقطة $(a, b)$، وهو ما يمثل العدد المركب.
• يمكن حساب المسافة من الأصل إلى النقطة باستخدام المقياس (المطلق) للعدد المركب: $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$
• يمكن إيجاد الزاوية (المرافقة للمتجه مع المحور الحقيقي) باستخدام: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$$

3. التمثيل القطبي للأعداد المركبة: بدلاً من الشكل الديكارتي $z = a + bi$، يمكن كتابة العدد المركب بصيغة المقدار والزواية كالتالي:

$$z = r (\cos\theta + i \sin\theta)$$

حيث:

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ هو المقياس.
• $\theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right)$ هو زاوية الاتجاه.

4. أمثلة على التمثيل الهندسي:

• إذا كان لدينا العدد المركب $z = 3 + 4i$:
  • يتم تمثيله كنقطة $(3,4)$ على المستوى.
  • مقياسه هو: $$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
  • زاويته هي: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{4}{3} \right) \approx 53.13^\circ$$
• إذا كان لدينا $z = -2 – 2i$:
  • يتم تمثيله كنقطة $(-2, -2)$.
  • مقياسه هو: $$|z| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$$
  • زاويته في الربع الثالث هي: $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{-2}{-2} \right) = \tan^{-1}(1) = 45^\circ$$ ولكن بما أنه في الربع الثالث، فإن الزاوية الفعلية هي: $$180^\circ + 45^\circ = 225^\circ$$

5. الرسم البياني للأعداد المركبة على مخطط أرغاند:

6. فوائد مخطط أرغاند:

• يساعد في تصور الأعداد المركبة هندسيًا.
• يسهل عمليات الجمع والطرح للأعداد المركبة عن طريق استخدام المتجهات.
• يُستخدم في التحليل الكهربائي والهندسة لتمثيل الموجات والترددات.
• مهم في تحليل الدوائر الكهربائية ونظرية الإشارات.

7. الخاتمة: يُعد مخطط أرغاند أداةً قوية لتمثيل الأعداد المركبة بطريقة هندسية، مما يسهل فهم خصائصها وعملياتها الحسابية. باستخدام هذا التمثيل، يمكننا تحليل الأعداد المركبة بطريقة أكثر وضوحًا، مما يسهم في التطبيقات الهندسية والرياضية المتقدمة.