التكامل الغير محدد / محاضرة 1

التكامل: القواعد الأساسية وطرق الحل مع الأمثلة

التكامل هو العملية العكسية للتفاضل، ويستخدم لحساب المساحات، والإزاحات، والكميات التراكمية في الرياضيات. يتم تقسيم التكامل إلى نوعين: التكامل غير المحدد والتكامل المحدد.

القواعد الأساسية للتكامل

1. قاعدة التكامل الأساسي

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{(لـ \( n \neq -1 \))}$$

مثال:

$$\int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$$

2. قاعدة التكامل للمجموع والطرح

$$\int [f(x) \pm g(x)] \,dx = \int f(x) \,dx \pm \int g(x) \,dx$$

مثال:

$$\int (x^2 + 3x) \,dx = \int x^2 \,dx + \int 3x \,dx$$ $$= \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C$$

3. قاعدة التكامل للثوابت

$$\int k f(x) \,dx = k \int f(x) \,dx$$

مثال:

$$\int 5x^2 \,dx = 5 \int x^2 \,dx = 5 \times \frac{x^3}{3} + C = \frac{5x^3}{3} + C$$

4. تكامل الدوال الأسية

$$\int e^x \,dx = e^x + C$$ $$\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C, \quad (a > 0, a \neq 1)$$

مثال:

$$\int 2^x \,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$$

5. تكامل الدوال المثلثية

$$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x \,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x \,dx = \tan x + C$$ $$\int \csc^2 x \,dx = -\cot x + C$$

مثال:

$$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$

6. قاعدة التكامل بالتجزئة

$$\int u v’ \,dx = u v – \int v u’ \,dx$$

مثال:

$$\int x e^x \,dx$$

نختار:

• $u = x \Rightarrow u’ = 1$
• $dv = e^x dx \Rightarrow v = e^x$

$$\int x e^x \,dx = x e^x – \int e^x \,dx = x e^x – e^x + C$$

7. قاعدة التكامل بالتبديل (التكامل بالتعويض)

إذا كان $I = \int f(g(x)) g'(x) \,dx$، فنقوم بالتعويض $u = g(x)$ بحيث $du = g'(x) dx$، ثم نحسب التكامل بالنسبة لـ $u$.

مثال:

$$\int (2x+3)^5 \cdot 2 \,dx$$

نضع:

• $u = 2x+3$ $\Rightarrow du = 2dx$

فيصبح:

$$\int u^5 \,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(2x+3)^6}{6} + C$$

أمثلة تطبيقية على طرق الحل

مثال 1: تكامل حدودي بسيط

$$\int (3x^2 – 4x + 5) \,dx$$

الحل:

$$\int 3x^2 \,dx – \int 4x \,dx + \int 5 \,dx$$ $$= \frac{3x^3}{3} – \frac{4x^2}{2} + 5x + C$$ $$= x^3 – 2x^2 + 5x + C$$

مثال 2: تكامل دالة مثلثية

$$\int \cos 2x \,dx$$

الحل:
نستخدم التعويض: $u = 2x \Rightarrow du = 2dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}$

$$\int \cos u \cdot \frac{du}{2}$$ $$= \frac{1}{2} \int \cos u \,du$$ $$= \frac{1}{2} \sin u + C$$ $$= \frac{1}{2} \sin 2x + C$$

مثال 3: تكامل بالتجزئة

$$\int x \ln x \,dx$$

الحل باستخدام قاعدة التجزئة:
نختار:

• $u = \ln x \Rightarrow u’ = \frac{1}{x}$
• $dv = x \,dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2}$

$$\int x \ln x \,dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \,dx$$ $$= \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x \,dx$$ $$= \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C$$ $$= \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C$$

مثال 4: تكامل بالتعويض

$$\int \frac{x}{x^2+1} \,dx$$

نضع $u = x^2+1 \Rightarrow du = 2x \,dx \Rightarrow \frac{du}{2} = x \,dx$

$$\int \frac{x}{x^2+1} \,dx = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u}$$ $$= \frac{1}{2} \ln |u| + C$$ $$= \frac{1}{2} \ln |x^2+1| + C$$

خاتمة

التكامل أداة قوية في الرياضيات والفيزياء والهندسة، وله العديد من القواعد والطرق المختلفة للحل. تختلف طريقة الحل حسب نوع الدالة، ويمكن استخدام القواعد الأساسية، والتجزئة، والتعويض لحل مختلف التكاملات.