التكامل الغير محدد / محاضرة 2

السؤال هو:

$\int (x^2 + 1)^8 \cdot 2x \, dx$

حل التكامل؟

لحل التكامل:

$I = \int (x^2 + 1)^8 \cdot 2x \, dx$

نستخدم التعويض:

$u = x^2 + 1$

ثم نشتق الطرفين بالنسبة لـ $x$ :

$du = 2x \, dx$

وهذا يعني أن $2x \, dx = du$ ، وبالتالي يتحول التكامل إلى:

$I = \int u^8 \, du$

نستخدم قاعدة التكامل:

$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$

حيث $n = 8$ ، فنحصل على:

$I = \frac{u^9}{9} + C$

نعيد $u = x^2 + 1$ إلى المعادلة:

$I = \frac{(x^2 + 1)^9}{9} + C$

$\int (x^2 + 1)^8 \cdot 2x \, dx = \frac{(x^2 + 1)^9}{9} + C$

السؤال هو:

احسب التكامل التالي:

$\int (x-1)^{-7} \, dx$

المعادلة الموجودة في الصورة هي:

$\int (x-1)^{-7} \, dx$

لحل التكامل، نستخدم القاعدة الأساسية:

$\int (x-a)^n \, dx = \frac{(x-a)^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{لـ} \quad n \neq -1$

في هذه الحالة، لدينا:

$\int (x-1)^{-7} \, dx = \frac{(x-1)^{-6}}{-6} + C$

أو بتبسيط:

$\frac{(x-1)^{-6}}{-6} = -\frac{1}{6 (x-1)^6} + C$

إذن، الحل النهائي هو:

$-\frac{1}{6 (x-1)^6} + C$