التكامل الغير محدد / محاضرة 5 – تكامل الدوال الجذرية

تكامل الدوال الجذرية: الشرح الكامل مع القواعد وطرق الحل

تكامل الدوال الجذرية هو أحد الفروع المهمة في حساب التفاضل والتكامل، حيث تحتاج بعض هذه الدوال إلى استخدام التعويض أو التحويلات المثلثية، بينما يمكن تكامل البعض الآخر باستخدام القواعد الأساسية. سنوضح هنا القواعد والطرق الرئيسية لحل تكاملات الدوال الجذرية.

1- القواعد الأساسية لتكامل الدوال الجذرية

قبل الدخول في التكاملات المختلفة، نتذكر القاعدة العامة لتكامل القوى:

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{حيث \( n \neq -1 \)}$$

قاعدة 1: تكامل الجذر التربيعي

• التكامل الأساسي:

  $$\int \sqrt{x} \,dx = \int x^{\frac{1}{2}} \,dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$$

• التكامل العكسي للجذر التربيعي:

  $$\int \frac{dx}{\sqrt{x}} = \int x^{-\frac{1}{2}} \,dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x} + C$$

2- التكامل باستخدام التعويض

قاعدة 2: تكامل الدوال على شكل $\int \sqrt{ax + b} \,dx$

نستخدم التعويض:

$$u = ax + b \quad \Rightarrow \quad du = a \,dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{a}$$

فيصبح التكامل:

$$\int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{a}$$

وباستخدام القاعدة الأساسية:

$$\int u^{\frac{1}{2}} \,du = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$$

نجد:

$$\frac{2}{3a} (ax + b)^{\frac{3}{2}} + C$$

قاعدة 3: تكامل الدوال على شكل $\int \frac{dx}{\sqrt{ax + b}}$

نستخدم نفس التعويض:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{ax+b}}$$

بعد التغيير يصبح:

$$\frac{2}{a} \sqrt{ax + b} + C$$

3- التكامل باستخدام التعويض المثلثي

عند مواجهة الجذور التي تحتوي على تعبيرات من الشكل $\sqrt{a^2 – x^2}$ أو $\sqrt{x^2 + a^2}$، نستخدم التعويض المثلثي.

قاعدة 4: تكامل $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}}$

نستخدم التعويض:

$$x = a \sin\theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \cos\theta d\theta$$

وبما أن:

$$\sqrt{a^2 – x^2} = a \cos\theta$$

فإن التكامل يصبح:

$$\int \frac{a \cos\theta d\theta}{a \cos\theta} = \int d\theta = \theta + C$$

وبما أن $\theta = \arcsin \frac{x}{a}$، فإن:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C$$

قاعدة 5: تكامل $\int \sqrt{x^2 + a^2} \,dx$

نستخدم التعويض:

$$x = a \tan\theta \quad \Rightarrow \quad dx = a \sec^2\theta d\theta$$

وبما أن:

$$\sqrt{x^2 + a^2} = a \sec\theta$$

فإن التكامل يصبح:

$$\int a \sec\theta \cdot a \sec^2\theta d\theta = a^2 \int \sec^3\theta d\theta$$

وهذا يتطلب تكامل الدالة $\sec^3\theta$، وهو تكامل متقدم.

4- تكاملات خاصة للدوال الجذرية

قاعدة 6: تكامل الدوال على شكل $\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \,dx$

نستخدم التعويض:

$$u = x^2 + a^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x dx$$

فيصبح التكامل:

$$\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{u} = \sqrt{x^2 + a^2} + C$$

قاعدة 7: تكامل $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + a^2}} \,dx$

نستخدم نفس التعويض السابق:

$$u = x^2 + a^2 \quad \Rightarrow \quad du = 2x dx$$

ونكامل بتجزئة التعبير إلى جزأين أحدهما يحل مباشرة.

5- تطبيق عملي على القواعد

مثال 1: حساب $\int \sqrt{4x + 5} \,dx$

• نستخدم التعويض: $$u = 4x + 5 \Rightarrow du = 4dx \Rightarrow dx = \frac{du}{4}$$
• بعد التغيير يصبح التكامل: $$\int \sqrt{u} \cdot \frac{du}{4} = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} \,du$$
• نحسب التكامل: $$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{12} (4x+5)^{\frac{3}{2}}$$
• النتيجة النهائية: $$\frac{1}{6} (4x+5)^{\frac{3}{2}} + C$$

مثال 2: حساب $\int \frac{dx}{\sqrt{9 – x^2}}$

• نستخدم التعويض: $$x = 3 \sin\theta \Rightarrow dx = 3\cos\theta d\theta$$
• نحصل على التكامل: $$\int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C$$
• وبما أن $\theta = \arcsin \frac{x}{3}$، فإن: $$\int \frac{dx}{\sqrt{9 – x^2}} = \arcsin \frac{x}{3} + C$$

الاستنتاج

• إذا كان الجذر بسيطًا، نحوله إلى صورة القوة ونجري التكامل مباشرة.
• إذا كان الجذر يحتوي على تعبير خطي، نستخدم التعويض البسيط.
• إذا كان الجذر يحتوي على مربع، نستخدم التعويض المثلثي.
• يمكن في بعض الحالات اللجوء إلى التكامل بالتجزئة أو التحليل الجبري.

السؤال في الفيديو هو:

$$\int \frac{x^3}{\sqrt[5]{5 – x^4}} \,dx$$

نريد حساب التكامل:

$$I = \int \frac{x^3}{\sqrt[5]{5 – x^4}} \,dx$$

الخطوة 1: التعويض المناسب

نلاحظ أن المقام يحتوي على $5 – x^4$، مما يشير إلى أن التعويض المناسب هو:

$$u = 5 – x^4$$

ثم نشتق الطرفين:

$$du = -4x^3 \,dx$$

وبالتالي:

$$dx = \frac{du}{-4x^3}$$

الخطوة 2: إعادة كتابة التكامل

بالتعويض في التكامل، يصبح:

$$I = \int \frac{x^3}{\sqrt[5]{u}} \cdot \frac{du}{-4x^3}$$

نختصر $x^3$ في البسط والمقام:

$$I = \int \frac{du}{-4 \cdot \sqrt[5]{u}}$$

أو بشكل أبسط:

$$I = -\frac{1}{4} \int u^{-\frac{1}{5}} \,du$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نستخدم القاعدة الأساسية للتكامل:

$$\int u^n \,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{حيث } n \neq -1$$

حيث $n = -\frac{1}{5}$، فنحسب:

$$I = -\frac{1}{4} \cdot \frac{u^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}}$$ $$I = -\frac{1}{4} \times \frac{5}{4} u^{\frac{4}{5}}$$ $$I = -\frac{5}{16} u^{\frac{4}{5}} + C$$

الخطوة 4: إرجاع $u$ إلى $x$

نتذكر أن:

$$u = 5 – x^4$$

وبالتالي، يصبح الحل النهائي:

$$I = -\frac{5}{16} (5 – x^4)^{\frac{4}{5}} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{x^3}{\sqrt[5]{5 – x^4}} \,dx = -\frac{5}{16} (5 – x^4)^{\frac{4}{5}} + C$$

السؤال هو:

$$\int \sqrt[3]{x^2 + 10x + 25} \, dx$$

وهذا يعني إيجاد التكامل غير المحدد للتعبير داخل الجذر التكعيبي.

لحل التكامل:

$$I = \int \sqrt[3]{x^2 + 10x + 25} \, dx$$

الخطوة 1: تحليل المقدار تحت الجذر

نلاحظ أن المقدار داخل الجذر التكعيبي هو:

$$x^2 + 10x + 25$$

يمكن إعادة كتابته على شكل مربع كامل:

$$(x + 5)^2$$

إذن يصبح التكامل:

$$I = \int \sqrt[3]{(x+5)^2} \, dx$$

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

$$t = x + 5$$

وبالتالي:

$$dt = dx$$

فيصبح التكامل:

$$I = \int \sqrt[3]{t^2} \, dt$$

ونعيد كتابة الجذر التكعيبي:

$$I = \int t^{\frac{2}{3}} \, dt$$

الخطوة 3: التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{حيث } n \neq -1$$

بالتطبيق على $t^{\frac{2}{3}}$:

$$I = \frac{t^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C$$ $$I = \frac{3}{5} t^{\frac{5}{3}} + C$$

الخطوة 4: إرجاع $t$ إلى $x$

بما أن $t = x + 5$، فإن:

$$I = \frac{3}{5} (x+5)^{\frac{5}{3}} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \sqrt[3]{x^2 + 10x + 25} \, dx = \frac{3}{5} (x+5)^{\frac{5}{3}} + C$$

السؤال هو:

$$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x^4 – 4x^2 + 4}} \, dx$$

وهذا يعني إيجاد التكامل غير المحدد لهذا التعبير.

لحل التكامل:

$$I = \int \frac{x}{\sqrt[3]{x^4 – 4x^2 + 4}} \, dx$$

الخطوة 1: تحليل المقام

نلاحظ أن المقدار داخل الجذر التكعيبي هو:

$$x^4 – 4x^2 + 4$$

نحاول إعادة كتابته بشكل يمكن تبسيطه. نلاحظ أنه يمكن معاملته كمربع كامل:

$$x^4 – 4x^2 + 4 = (x^2 – 2)^2$$

إذن يصبح التكامل:

$$I = \int \frac{x}{\sqrt[3]{(x^2 – 2)^2}} \, dx$$

الخطوة 2: التغيير المتغير

نضع:

$$t = x^2 – 2$$

وبالتالي:

$$dt = 2x \, dx$$

أي أن:

$$\frac{dt}{2} = x \, dx$$

بالتعويض في التكامل، يصبح:

$$I = \int \frac{\frac{dt}{2}}{\sqrt[3]{t^2}}$$ $$= \frac{1}{2} \int t^{-\frac{2}{3}} \, dt$$

الخطوة 3: حساب التكامل

نستخدم قاعدة التكامل:

$$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C, \quad \text{حيث } n \neq -1$$

بالتطبيق على $t^{-\frac{2}{3}}$:

$$I = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C$$ $$= \frac{1}{2} \times 3 t^{\frac{1}{3}} + C$$ $$= \frac{3}{2} t^{\frac{1}{3}} + C$$

الخطوة 4: إرجاع $t$ إلى $x$

بما أن $t = x^2 – 2$، فإن:

$$I = \frac{3}{2} (x^2 – 2)^{\frac{1}{3}} + C$$

النتيجة النهائية:

$$\int \frac{x}{\sqrt[3]{x^4 – 4x^2 + 4}} \, dx = \frac{3}{2} (x^2 – 2)^{\frac{1}{3}} + C$$

$$\int \sqrt[3]{x^5 – x^3} \,dx$$